题解 P6544 [CEOI2014] Cake

洛谷。

题意

一共 $n$ 个蛋糕，每个蛋糕用有一个权值 $d_i$，会从某一个开始，吃两端权值更小的那个蛋糕。
有 $q$ 个操作，分为两种：

1. 修改，将编号为 $i$ 的蛋糕升为第 $e$ 美味的，保证一定是提高排名。

2. 查询，询问在吃掉编号为 $b$ 的蛋糕前会吃掉多少蛋糕。

   $e\le 10$，$n\le 2.5 \times 10^5$，$q\le 5 \times 10^5$。

先划一下重点：$e\le 10$，并且是提升至 $e$ 这个排名。

分析

重新分析一下题目让我们做一些什么事，我们需要从我们的起始点开始，直到吃到指定点，再吃到指定点的过程中，我们必然吃到从指定点到起始点这一整块上的所有店，那也就代表，要么我们一边吃到了底，否则，就是在那一段有一个比我们这个路径都要大的点。

简单来说，我们的另一端是一个大于我们起始点至结束点最大值的点。

这是我们的查询操作，很明显满足二分性质，只要我们运用前缀和或者区间查询，就可以以 $O(\log n )$ 的时间复杂度解决。

由于起始点与终点的位置关系，因此要分类，此处只贴一边，另一边相近。

inline int queryl(int id) {
    int x=tree.query(1,1,n,id,be-1),l=be+1,r=n,res=n+1;
    while(l<=r) {
        int mid=l+r>>1;
        int num=tree.query(1,1,n,be+1,mid);
        if(num>x) {
            res=mid;
            r=mid-1;
        } else l=mid+1;
    }
    return res;
}

接下来，我们的重点就到了修改上，这个修改很不同寻常，一般的修改应该是修改一个值，而此处却是修改到一个排名。

暴力

为了方便表述，坐标为 $id$。

我们的 $d_i$ 两两不同并且 $d_i\le n$，因此，我们的 $d$ 就是一个排列，那么我们只需要将所有值在 $d_{id}$ 与第 $e$ 个之间的 $d$ 下降，然后再将 $id$ 顶上即可。
时间复杂度 $O(n)$，配合暴力的查询可以拿下 15，配合 $O(\log n)$ 的查询可以再拿下 20。

int id=read(),x=read();
for(int j=1;j<=n;++j) if(a[j]>=x&&a[j]<a[id]) ++a[j];
a[id]=x;
tree.build(1,1,n);

正解

我们观察一下我们的查询操作，我们并不需要值的大小，而是需要值的大小关系，我们需要的序列并不一定是一个排列，只要大小关系，排名不变即可。

我们再观察一下我们这个非常优秀的性质 $e\le 10$，这个性质题目的一个约束条件。

我们修改了比我们要修改的更小的值，那我们是不是也可以修改更大的值，而且非常巧啊，我们的这些更大值只要 10 个呢。

我们讲前十大的记录，在修改时，将小于 $e$ 的全部 +1，修改当前点的值，重新维护前十小即可。

int id=read(),x=read();
int num=b[x].num-1;
for(int i=1; i<x; ++i) tree.change(1,1,n,b[i].id,b[i].num-1),b[i].num--;
tree.change(1,1,n,id,num);
int flag=cnt+1;
for(int i=1; i<=cnt; ++i) if(b[i].id==id) flag=i;   
b[flag]=<%num,id%>;
if(flag<cnt+1) sort(b+1,b+cnt+1);
else sort(b+1,b+cnt+2);

总结一下，我们此题的问题并不是数据结构的难度，而是发掘题目的性质，并合理利用，解决即可。