题解 P6485 [COCI2010-2011#4] PROSJEK

洛谷。

题意

选出若干个在 $1\sim 5$ 的整数，使其平均数为 $P$。

$P$ 是一个 $1\sim 9$ 位的小数。

问选出的数最小的方案数。

分析

我们可以发现 $P=\frac{sum}{cnt}$，$sum$ 为和，$cnt$ 是选出的数的个数。

我们就有了两个方式，第一种是使其平均数不断接近 $P$，这也就有了被卡精度的问题。

第二种，我们凑出最小的 $cnt$，再用 $cnt$ 个数凑出 $sum$。

要使 $cnt$ 最小，那么我们的 $sum$ 显然也是最小。

我们的 $sum$ 明显是一个整数，我们先使我们的 $P$ 乘上 $10^{9}$，再使其下降，这也就避免了被卡精度。

此时，我们的 $cnt$ 也就是 $10^{9}$，为了使其最小，我们将 $cnt$ 与此时的 $sum$ 除上其最小公倍数。

int cnt=1000000000;
P*=cnt;
int T=P,gcd=__gcd((int)P,cnt);
T/=gcd,cnt/=gcd;

此时，我们找到了我们的最小 $cnt$，接下来就来到了解决，用 $cnt$ 个数凑出 $sum$。

我们可以用背包解决，但是 $sum$ 可能会很大，限制了此想法。由此，我们分析一下，我们最容易解决的方案是什么。

我们可以找到在当前 $sum$ 下的最小的凑成的数量，令其为 $tot$。

怎么做呢，我们从最大选起，能选就选，就能得到我们的 $tot$，以及每个数被选的个数。

我们思考一下为什么。

令 $f_i$ 表示凑成 $i$ 的选择的最小数字的量，而这个 $f$ 应该是单调不降的，否则，这个下降的下标为 $j$（$j\ge i$），倘若在选择 $f_j$ 是选择了一个不为 $1$ 的，我们就可以将其分成 $x-1$ 与 $1$。然而全选 $1$ 在 $i>1$ 时明显并不是最优的。

int tot=0;
for(int i=5;i;--i) {
    a[i]=T/i;
    T=T-i*a[i];
    tot+=a[i];
}

这时，我们的 $tot$ 显然是小于等于我们的 $cnt$。
我们需要使数量增加。

显然，我们需要使一些数分裂成更多的数。

为了使我们的分解更加便于操作，我们可以从最大开始，不断分出 $1$，这样我们就可以不断使 $tot+1$。

从小开始也可行，但是因为我们上面是从大选起，能选就选，因此，只有 $a_5$ 是可能大于 $1$ 的，因此从 $5$ 开始会对我们的 $tot$ 有更大的影响，更加快捷。（但是只有 $5$ 个好像都无所谓？）

在正确性上，只要我们存在方案，那么我们必然可以凑出，因为我们是一步一步加的。

while(tot<cnt) {
    int id=0;
    for(int i=2;i<=5;++i) if(a[i]) id=i;
    int dt=cnt-tot;
    if(a[id]>=dt) {
        a[id]-=dt;
        a[1]+=dt;
        a[id-1]+=dt;
        tot+=dt;
    }else {
        a[1]+=a[id];
        a[id-1]+=a[id];
        tot+=a[id];
        a[id]=0;
    }
}