题解 P7586 [COCI2012-2013#1] SNAGA

洛谷。

题意

应该好理解，没理解的话可以看一下下面暴力的代码。

分析

观察这种题，范围 $3\le A < B \le 10^{17}$，首先就只有几种算法了（至少我没学过多少种）：倍增，矩阵快速幂，数学，数位 DP，循环，或一些特殊情况。

而这题，他有一个不能整除的性质，看来只有数学来解决了，先确定了一个大的方向。

先打一个暴力，打个小表来分析一下性质：

inline int js(int x) {
    if(x==2) return 1;
    for(int j=2;j<=x;++j) if(x%j) return 1+js(j);
}

输出前一百个观察一下：

再随机几个我们发现，所有的 $len$ 都是小于等于 $4$ 的。

由此，我们再次分析一下我们的操作，可以得到几个性质（令 $f_i$ 表示 $i$ 的最小的不能整除的数）：

1. 奇数的 $len$ 必然为 $2$。
2. 所有小于 $f_i$ 的数都是 $i$ 的因数。

看起来有点像废话？所有小于 $f_i$ 的数都是 $i$ 的因数，这也就导致，我们的前 $f_i$ 个数的 lcm。

输出一下前缀的 lcm：

当我们的 $i$ 大于 $42$ 时，就已经超过了我们的范围了，因此，我们的 $f_i\le 42$，这是第一个衍生性质。

再分析一下 $f_i$ 在数字上的性质，进而判断 $len_i$ 的数值。

先给出结论：

1. $i$ 是一个奇数，那么 $len_i=2$；
2. $f_i$ 是一个奇数，那么 $len_i=3$；
3. $f_i$ 是一个偶数，那么 $len_i=4$。

这三个结论中的前两个都应该是很显然的，着重分析一下第 3 个。

因为 $f_i$ 是一个偶数，我们令 $f_i=2\times k$，那么 $k$ 也就已经判断过，是 $i$ 的因数。
那为什么我们的 $2\times k$ 不是其因数了呢？是因为我们增加了一个 $2$ 的因数。
因此，我们对其造成关键的实际上是 $2^q$，（$q$ 为 $2\times k$ 的 $2$ 的最大幂次）。
而 $2^q\le 2\times k$，由此，我们的 $f_i$ 应当就是 $2^q$，而 $f_{2^q}=3$。由此，得出我们的结论 3。

最后轮到了如何求答案了，我们分开处理三种数，可能不太好算，我们令其一部分放在一起考虑。

我们令基础的贡献为 3，那么，我们只要减去奇数的个数，就可以处理出 1，2 的贡献，同时，计算了一部分的 3，我们只需要加上第三种数字的个数即可。

对于这一部分，我们又要分成 4 种，根据 $f_i$ 的种类分类，因为 $f_i\le 42$，$f_i=2^q$，所以此时的 $f_i$ 只有四种可能：4、8、16、32。

要使 $f_i$ 是 $x$，我们需要使 $i$ 使 $x$ 前面所有数的 lcm 的因数，同时不被 $x$ 整除，用一个小小容斥即可。

for(int i=2;i<=5;++i) {
    res+=x/num[i];//num为预处理的前缀lcm
    ll y=num[i]*(1<<i)/__gcd(num[i],(1<<i));
    if(y<0) continue;//防止爆
    res-=x/y;
}