题解 P5234 [JSOI2012] 越狱老虎桥

洛谷。

题意

有一个 $n$ 个节点，$m$ 条边的图，还有一条不确定的边，问最劣情况下的桥的权值最小值（极其省流版）。若这个图强联通则输出 $-1$。

分析

其实这个省流版题意就带了一定的分析了，要使有一个电网没有通电，那么必然需要使其变成两个联通块，那么我们删除的这条边也就一定是一条桥了。

首先要做的就是缩点，在处理这一类的题目时，先思考缩点后的树的情况可以节省很多没有必要的思考，可以给我们提供整个方向。

接下来我们就要思考我们这条不确定的边的影响，因为我们的答案是最劣情况下的桥的权值最小值，因此，我们从最小的边开始，假如这条边不能被这一条边保护，那这条边就是答案。

我们分析这一条边能保护的对象，他与原来的那棵树连成了一个环，这一条环上的我们都能保护。（令这一条边两端为 $U$，$V$）。

也就是说，我们枚举的这一条边的两边 $u$、$v$（$u$ 为 $v$ 的父亲），$U$ 与 $V$ 中必然有一个节点是 $v$ 子树下的，而另一个，必然不可以是。考虑在 $dfn$ 序上，就可以使 $U$，与 $V$ 约束在一个范围内，最后就可以解决了。

sort(edge+1,edge+cnt+1);
for(int i=1; i<=cnt; ++i) {
    int u=edge[i].u,v=edge[i].v,w=edge[i].w;
    if(fa[v][0]!=u) swap(u,v);
    if(dfn[v]<=L1&&R1<=R[v]&&dfn[v]<=L2&&R2<=R[v]) print(w);
    if(dfn[v]<=L1&&R1<=R[v]) continue;
    if(dfn[v]<=L2&&R2<=R[v]) continue;
    if(L1<=dfn[v]&&R[v]<=R1) {
        L1=dfn[v],R1=R[v];
        continue;
    } else if(L2<=dfn[v]&&R[v]<=R2) {
        L2=dfn[v],R2=R[v];
        continue;
    } else print(w);
}
print(-1);

时间复杂度：$O(m\log m)$，瓶颈为排序，排序优化后可至 $O(m)$。