莫比乌斯反演
莫比乌斯反演
引入
莫比乌斯反演用处：对于一些函数 \(f(n)\)，如果比较难以求出它的值，但容易求出其倍数和或约束和 \(g(n)\)，则可以通过莫比乌斯反演简化运算。
莫比乌斯函数
定义
定义 \(\mu\) 为莫比乌斯函数，
详细解释一下后两条，我们令 \(n=\prod_{i=1}^{k}p_i^{c_i}\)，也就是将 \(n\) 分解质因数，\(p_i\) 为质因子，\(c_i\ge 1\)，则凡是有 \(c_i>1\)，\(\mu(n) = 0\)，而当任意的 \(c_i\) 都等于 \(1\)，\(\mu(n) = (-1) ^ k\)。
性质
证明
既然 \(n=\prod_{i=1}^{k}p_i^{c_i}\) ，那么我们令 \(d = \prod_{i=1}^k p_i^{\beta_i}\)，其中 \(0 \le \beta_i \le c_i\)
对于存在 \(\beta_i>=2\) 的情况，\(\mu(d)=0\)，我们可以不管。
对于所有 \(\beta_i\) 都小于等于 1 的情况，很显然我们按照\(\beta_i=1\)有几个给它分一下组，也就是按照选了几个质因数给它分组，这样，很显然 \(\mu(d)\) 的值是 \(\C_{k}^0\times(-1)^0 + \C_{k}^1\times(-1)^1+\cdots+\C_{k}^k\times(-1)^k\) 也就是 \(\sum_{i=0}^k\C_k^i\times(-1)^i\)
看到这个形式，我们可以想起来二项式定理：
我们可以令 \(a=1,b=-1\)，代入二项式定理正好就是我们刚才推出的式子。
所以
莫比乌斯反演
形式一
定义在正整数域上的两个函数，若
则
莫比乌斯反演相关的题都是去套用这个定理来简化 \(f(n)\) 的计算。
证明
首先将 第一个式子代入第二个式子，消去 \(F(n)\):
这其实就相当于一个二重循环：
for d|n
for i|(n/d)
sum += mu(d) * f(i)
考虑将循环顺序颠倒，没有影响，\(i\) 可遍历到 \(n\) 的任何因数。
再考虑对于 \(\mu(n)\) 的遍历，既然 \(i|\frac nd\)，那么 \(di|n\)，那么 \(d|\frac ni\)
则：
前面已经证明过 \(\sum_{d|n}\mu(d) = \begin{cases} 1 &n=1\\ 0 & n \ne1 \end{cases}\)，则当只有 \(\frac ni = 1\) 时才会对答案有贡献，其他时候都是 0，则 \(i=n\) 时，答案为 \(f(n)\)，证毕。
形式二
我们一般会用到莫比乌斯反演的另外一种形式：
证明
形式二的证明与形式一略有不同，但是大致一样。
首先依旧是将第一个式子代入第二个式子。
设 \(d'=\frac dn\)，\(d = d'n\)，因为 \(d|i\)，所以 \(d'n|i\)，所以 \(d'|\frac in\)
与前面同理，\(\mu(n)\) 只有在 \(n=1\) 时才是 1，所以最终答案为 \(f(n)\).
例题
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define maxn 50005
using namespace std;
const int INF = 1e9;
inline int read() {
int x = 0, f = 1; char c = getchar();
while (c < '0' || c > '9') { if (c == '-') f = -1; c = getchar(); }
while (c >= '0' && c <= '9') { x = x * 10 + c - '0'; c = getchar(); }
return x * f;
}
int primes[maxn], cnt, mu[maxn], sum[maxn];
bool st[maxn];
void init() {
mu[1] = 1;
for (int i = 2; i < maxn; i++) {
if (!st[i]) primes[cnt++] = i, mu[i] = -1;
for (int j = 0; primes[j] * i < maxn; j++) {
st[primes[j] * i] = 1;
if (i % primes[j] == 0) {
mu[primes[j] * i] = 0;
break;
}
mu[primes[j] * i] = -mu[i];
}
}
for (int i = 1; i < maxn; i++) sum[i] = sum[i - 1] + mu[i];
}
int g(int k, int x) {
return k / (k / x);
}
int f(int a, int b, int k) {
a = a / k, b = b / k;
int res = 0;
int n = min(a, b);
for (int l = 1, r; l <= n; l = r + 1) {
r = min(n, min(g(a, l), g(b, l)));
res += (sum[r] - sum[l - 1]) * (a / l) * (b/ l);
}
return res;
}
signed main() {
init();
int T = read();
while (T--) {
int a = read(), b = read(), c = read(), d = read(), k = read();
cout << f(b, d, k) - f(a - 1, d, k) - f(b, c - 1, k) + f(a - 1, c - 1, k) << endl;
}
}
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define maxn 50005
using namespace std;
const int INF = 1e9;
inline int read() {
int x = 0, f = 1; char c = getchar();
while (c < '0' || c > '9') { if (c == '-') f = -1; c = getchar(); }
while (c >= '0' && c <= '9') { x = x * 10 + c - '0'; c = getchar(); }
return x * f;
}
int primes[maxn], cnt, mu[maxn], sum[maxn], h[maxn];
bool st[maxn];
void init() {
mu[1] = 1;
for (int i = 2; i < maxn; i++) {
if (!st[i]) primes[cnt++] = i, mu[i] = -1;
for (int j = 0; primes[j] * i < maxn; j++) {
st[primes[j] * i] = 1;
if (i % primes[j] == 0) {
mu[primes[j] * i] = 0;
break;
}
mu[primes[j] * i] = -mu[i];
}
}
for (int i = 1; i < maxn; i++) sum[i] = sum[i - 1] + mu[i];
for (int i = 1; i < maxn; i++) {
for (int l = 1, r; l <= i; l = r + 1) {
r = min(i, i / (i / l));
h[i] += (r - l + 1) * (i / l);
}
}
}
int g(int k, int x) {
return k / (k / x);
}
signed main() {
init();
int T = read();
while (T--) {
int n = read(), m = read();
int ans = 0, k = min(n, m);
for (int l = 1, r; l <= k; l = r + 1) {
r = min(k, min(n / (n / l), m / (m / l)));
ans += (sum[r] - sum[l - 1]) * h[n / l] * h[m / l];
}
cout << ans << endl;
}
}
/*
dij = sum(x|i)sum(y|j)gcd(x, y)==1
sumsumsumsum{gcd(x, y)==1}
F(n) = sumsumsumsum{n | gcd(x,y)}
= sumsum(N/x)*(M/y)*(n | gcd(x, y))
x' = N / x, y' = M / y --> F(n)
F(n) = sum(1->N/x)sum(1->M/y)(N'/x')(M'/y')
*/
VLATTICE - Visible Lattice Points
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define maxn 50005
using namespace std;
const int INF = 1e9;
inline int read() {
int x = 0, f = 1; char c = getchar();
while (c < '0' || c > '9') { if (c == '-') f = -1; c = getchar(); }
while (c >= '0' && c <= '9') { x = x * 10 + c - '0'; c = getchar(); }
return x * f;
}
int primes[maxn], cnt, mu[maxn], sum[maxn];
bool st[maxn];
void init() {
mu[1] = 1;
for (int i = 2; i < maxn; i++) {
if (!st[i]) primes[cnt++] = i, mu[i] = -1;
for (int j = 0; primes[j] * i < maxn; j++) {
st[primes[j] * i] = 1;
if (i % primes[j] == 0) {
mu[primes[j] * i] = 0;
break;
}
mu[primes[j] * i] = -mu[i];
}
}
for (int i = 1; i < maxn; i++) sum[i] = sum[i - 1] + mu[i];
}
int g(int k, int x) {
return k / (k / x);
}
signed main() {
init();
int T = read();
while (T--) {
int n = read();
int ans = 0;
for (int l = 1, r; l <= n; l = r + 1) {
r = g(n, l);
int t = n / l;
ans += (sum[r] - sum[l - 1]) * (t * t * (3 + t));
}
ans += 3;
cout << ans << endl;
}
}
浙公网安备 33010602011771号