[学习笔记]后缀相关算法
SA
SA实际上求出两个数组\(sa,rk\)。
\(sa_i\)表示将所有后缀排序后排名第\(i\)小的后缀的编号，\(rk_i\)表示后缀\(i\)的排名。
满足其性质\(sa_{rk_i} = rk_{sa_i} = i\)
这里仅给出一个\(O(nlog^2n)\)的做法。
其他做法参见\(oiwiki\)。
点击查看代码
bool cmp(int i,int j){
if(rk[i]!=rk[j]){
return rk[i]<rk[j];
}else{
int ri,rj;
ri=i+k<n?rk[i+k]:-1;
rj=j+k<n?rk[j+k]:-1;
return ri<rj;
}
}
void calc(){
for(int i=0;i<n;i++){
rk[i]=s[i];
sa[i]=i;
}
for(k=1;k<n;k*=2){
sort(sa,sa+n,cmp);
tmp[sa[0]]=0;
for(int i=0;i<n-1;i++){
tmp[sa[i+1]]=tmp[sa[i]]+cmp(sa[i],sa[i+1]);
}
for(int i=0;i<n;i++){
rk[i]=tmp[i];
}
}
}
很多情况下我们都要求出辅助数组\(height\)数组。
\(height_i = lcp(sa_i,sa_{i - 1})\)
其有引理\(height_{rk_{i - 1}} + 1 \leq height_{rk_{i}}\)
所以根据该引理，维护一个指针即可\(O(n)\)求出其。
点击查看代码
for (i = 1, k = 0; i <= n; ++i) {
if (rk[i] == 0) continue;
if (k) --k;
while (s[i + k] == s[sa[rk[i] - 1] + k]) ++k;
height[rk[i]] = k;
}
其应用大概有：
两个子串最长公共前缀
\(lcp(sa_i,sa_j) = \min{heaight_{i + 1...j}}\)
不同子串数目
\(\frac{n(n+1))}{2} - \sum_{i = 2}^n height_i\)
连续的相同子串([NOI2016] 优秀的拆分)：
考虑枚举长度然后设置关键点。
若存在\(AA\)，则\(AA\)一定跨越两个关键点，枚举两关键点，其一定有\([1,x][1,y]\)的后缀最长公共子串加\([x,n][y,n]\)的前缀最长公共子串大于枚举长度。
配合图食用。
搭配其他数据结构
略。
SAM
SAM是一个接受字符串\(S\)的所有后缀的最小DFA。
其也是对于将所有子串插入trie里的trie图压缩的结果。
子串的性质
\(S\)的子串和从\(t_0\)出发的任意路径对应。
一些概念和性质
结束位置 endpos
考虑字符串的任意非空子串，我们记\(endpos(t)\)为其所有的结束位置。
考虑按\(endpos(t)\)分成若干等价类。
显然，\(SAM\)的每个状态对应等价类。
引理1：字串两个子串为\(u\),\(w\)，其\(endpos\)相同，长度小的总为长度长的后缀。
引理2：每个等价类的元素子串的长度连续，且后缀关系传递。
后缀链接 \(link\)
考虑\(SAM\)中的某个不是\(t_0\)的状态\(v\)，我们已经知道，状态\(v\)其对应子串均为其代表等价类的最长串(\(T\))的后缀，我们设\(S = suffix(T)\),其等价类\(v\)的后缀链接连向\(\max len(S) (endpos(S)\neq endpos(T))\)对应\(S\)的等价类。
我们设\(endpos(t_0) = {-1,0,....,|S| - 1}\)
引理3：所有后缀链接构成一颗根节点为\(t_0\)的树，其上子节点的\(endpos\)是父节点的\(endpos\)的子集。
后缀自动机建法
考虑增量建法。
考虑已经维护了\(S\)的后缀自动机，现在要加入一个字符\(c\)，考虑如何维护：
\(len\)为其对应等价类里的最长长度。
点击查看代码
ll nod = 1,lst = 1;
inline void insert(int c){
int p = lst,q = ++nod;lst = q;
len[q] = len[p] + 1,f[q] = 1;
while(!ch[p][c] && p != 0){//向上找
ch[p][c] = q;
p = link[p];
}
if(p == 0)
link[q] = 1;
else{
int x = ch[p][c];
if(len[p] + 1 == len[x]){
link[q] = x;
}else{
int y = ++ nod ;//复制一个新节点
link[y] = link[x];
link[x] = link[q] = y;
len[y] = len[p] + 1;
std::memcpy(ch[y],ch[x],sizeof(ch[x]));
while(p != 0 && ch[p][c] == x){
ch[p][c] = y;
p = link[p];
}
}
}
}
