[BZOJ]2301: [HAOI2011]Problem b

题目大意：对于给出的n个询问，每次求有多少个数对(x,y)，满足a≤x≤b，c≤y≤d，且gcd(x,y) = k，gcd(x,y)函数为x和y的最大公约数。（1≤n≤50000，1≤a≤b≤50000，1≤c≤d≤50000，1≤k≤50000）

思路：

我们只要能求出1<=x<=n，1<=y<=m时的数对个数，容斥一下即可，求法如下：

复制黄学长复制的鏼爷的题解

推导：

令 $a'=\left \lfloor a/d \right \rfloor,b'=\left \lfloor b/d \right \rfloor$
$\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^b[\text{gcd}(i,j)==d]$
$=\sum_{i=1}^{a'}\sum_{j=1}^{b'}[\text{gcd}(i,j)==1]$
用莫比乌斯函数的性质把求和的式子换掉，
$=\sum_{i=1}^{a'}\sum_{j=1}^{b'}\sum_{d|\text{gcd}(i,j)}\mu(d)$
其中 $d|\text{gcd}(i,j) \Leftrightarrow d|i \,\text{and} \,d|j$ ，更换求和指标，
$=\sum_{d=1}^{a'}\mu(d)\left \lfloor a'/d \right \rfloor \left \lfloor b'/d \right \rfloor$
容易知道 $\left\lfloor a'/d\right \rfloor$ 单调不上升，且最多有 $2\sqrt{a'}$ 种不同的取值。所以按取值分成 $O(\sqrt{n})$ 个段分别处理，一个连续段内的和可以用预处理出的莫比乌斯函数前缀和求出

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
inline int read()
{
    int x;char c;
    while((c=getchar())<'0'||c>'9');
    for(x=c-'0';(c=getchar())>='0'&&c<='9';)x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0';
    return x;
}
#define MN 50000
int u[MN+5],f[MN+5],p[MN+5],pn;
int cal(int n,int m)
{
    if(n>m)swap(n,m);
    int res=0,ls,i;
    for(i=1;i<=n;i=ls+1)
    {
        ls=min(n/(n/i),m/(m/i));
        res+=(u[ls]-u[i-1])*(n/i)*(m/i);
    }
    return res;
}
int main()
{
    int n=read(),i,j,a,b,c,d,k;
    for(u[1]=1,i=2;i<=MN;++i)
    {
        if(!f[i])p[++pn]=i,u[i]=-1;
        for(j=1;i*p[j]<=MN&&(f[i*p[j]]=1);++j)
            if(i%p[j])u[i*p[j]]=-u[i];else break;
        u[i]+=u[i-1];
    }
    while(n--)a=read()-1,b=read(),c=read()-1,d=read(),k=read(),
        printf("%d\n",cal(b/k,d/k)-cal(a/k,d/k)-cal(b/k,c/k)+cal(a/k,c/k));
}

posted on 2017-04-01 14:58 ditoly 阅读(134) 评论(0) 编辑收藏举报