转载-写给数学挂掉的同学

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1 柯西曾经认为“一个解析函数序列，只要收敛，必可逐项求导。”这当然是错的。直到阿贝尔和魏尔斯特拉斯的工作正确处理了这个问题。

2 高斯证明了“代数基本定理”，他非常看重并起了这个名字，但他的证明本质上是一个拓扑证明，依赖连续函数的介值定理，他却没有认识到这个严重定理有待证明，是波尔察诺指出了高斯的毛病。波尔察诺想用现在的实数完备性的结果来证明，但他也不知道实数完备性理论直到19世纪末年才完全确立。

3 魏尔斯特拉斯认为如黎曼曲面那样的东西是“超验的”，人类经验无法接受与理解，是靠不住的。他指出黎曼的狄里希莱原理是错误的。他还举了一个反例说明，一个有下确界的泛函可以根本达不到下确界，因此没有最小值。直到1901-1902，希尔伯特才“挽救”了狄里希莱原理。

4 学过概率论的都知道“辛钦定理”，伟大如辛钦，在他为工程师开的数学讲座《数学分析八讲》中对“紧性”的处理都有不少错误。

5 小平邦彦曾经说过：“数学对我来说从不容易。”他说他经常把一段证明写在一张卡片上，然后不理解的时候就一遍一遍地看甚至背诵……比起其他很多经常自诩天赋的笨蛋来说，这个20世纪最伟大的代数几何学家的这番话总是让人感觉到温暖。

6 教科书是最不靠谱的。一个说法是：复数的出现是需求于解二次方程X^2+1=0，这是虚构的历史，这样讲只是为了方便。（为了方便而胡说的例子数不胜数，又如把黎曼曲面说成是虚构假想的东西）

美丽的欧拉公式仿佛从天上掉下来一样，e^ix幂级数展开后每一项都没有周期，为什么加起来以后就出现了周期？克莱因在他的《高观点下的初等数学》中批评了这种只注重方法单纯、逐步演绎，陈述定义、定理、证明、推论（形式化公理化的），却忽略数学概念的生成和发展、各个分支的相互联系、逻辑推理背后的直觉和物理内涵（实在论的）的教学方式。

7 大一时听黄宣国教授说，庞加莱错误百出，虽然他的错都非常重要、非常有价值，错都错得能挠到痒处。

8 Roger Penrose：“我认为理解那些复杂舞蹈所需的脑力活动一点也不比理解数学问题所需的智力来的低级......即使对那些真的无法进行分数运算的人，只要他们对这个精彩世界（我毫不怀疑其存在性）有一星半点的感受，就会发现实际上有相当多的道路向他们敞开着。”