极限算术化

斯杰文对穷竭法的简化和瓦里斯的算术化

在欧几里德后的漫长月中, 穷竭法几乎原地踏步。少在两个方面, 人们对穷竭法望而生畏: 一是每次务必使用的双重归谬法;二是其方法是几何的: 直观性强, 但不便于计算。竭法在逻辑上无懈可击, 但用起来十分繁琐。题在于最后使用的双重归谬法可否除去? 荷兰的西蒙斯杰文( Stevin,Simon, 1548- 1620) 在这方面做了大胆的设想。注重实际, 不甚注重数学上的严格性. 他接受阿基米德典型证明的直接部分, 而不在每个情况下都加上形式归谬法. 斯杰文大胆断言: 如果两个量的差在连续细分到一定程度后能小于任何已知的量, 则二者必无差异。是他甩掉了后面的形式归谬法,尽管斯杰文并未在理论上证明他的断言。的做法是牺牲了古希腊数学的某种严格性而代之以算法的简便易行。

在古代希腊, 代数学是几何化的。如, 欧几里德《几何原本》中的定理, 是用几何形式叙述算术问题的。到 17 世纪, 费尔马(Fermat. Pierre de, 1601- 1665) 和笛卡尔( Descartes, Rene , 1596 - 1650) 翻了这个案。们用代数方法研究几何问题, 于是产生了一门崭新的数学分支解析几何。们用f(x,y)=0方程表示曲线, 使几何学代数化。代数与几何这一对矛盾中, 其主要矛盾的转化, 标志着数学的重大进步.在解析几何中, 方程中的字母被理解为相互依赖的变数。是, 变量进入数学,客观世界的运动、变化的观念进入数学.变数的引入, 创造了一种崭新的数学方法——解析方法. 正是在这种气候下, 英国的约翰.瓦里斯( Wallis, John, 1616-1703) 成功地运用解析方法, 他力图使算术完全脱离几何表示。第一次用算术方法证明了欧几里德《几何原本》第五卷的 25 个定理, 他发现算术运算比几何运算简单得多。斯杰文一样, 他没有过多地为数学的严格性操心。

在算术化的基础上,瓦里斯最早引入变量极限的概念。说: “变量的极限 这是变量所能如此逼近的一个常数, 使得他们的差能够小于任何给定的量。这种定义迄今沿用作为极限定义的通俗的定性表达方式。惜瓦里斯的工作仅仅限于提出这一概念而已。

斯杰文对穷竭法大胆的扬弃, 瓦里斯的算术化及极限定义的提出, 为极限发展成为一个实用方向做了重要的奠基工作。

 

// 几何的直观性强，但是不便于计算。几何直观不总是可靠的。定性与定量。