Fib-tree

Fib-tree

首先定义Fib-tree为节点个数为斐波那契数列，并且要么只有一个点要么可以被划分成两个Fib-tree。

然后给你一颗n\((n\le10^5)\)个点的树，判断它是否是一颗Fib-tree

然后考虑先判断这个树的节点个数是否是fib-tree，由于斐波那契数列是呈指数级增长，所以我们只需要预处理前几项即可。

然后考虑划分，首先划分的大小是唯一确定的。这是由于斐波那契数列的递推式决定的。

\[f_i=f_{i-1}+f_{i-2} \]

假如有另外一组解，那么必然有\(f_i-f_a>f_{i-1}(a<i-2)\)

可以进行\(dfs\)寻找有没有这样的子树大小为\(f_{i-1}或f_{i-2}\)然后进行递归即可，但是有一个问题就是可能存在有很多满足大小条件的子树，我们不知道哪个是可行的。然后这题有非常惊人的性质，就是如果存在可行方案，那么其他划分方案也是可行的，那么我们考虑证明。

如果这棵树存在两种划分方式，那么我们可以将树分解为三部分，大小分别为\(f_{i-1},f_{i-2},f_{i-2}\)那么这样我们发现如果选择一种划分方式，其中\(f_{i-1}\)的划分就可以割刚才的边。然后我们发现这是一个归纳的过程。如果对于大小为\(f_{i-1}\)的树满足，那么对于\(f_i\)的树就必然满足，因为如果其中一种满足条件，根据归纳划分为三部分的方式就必然是合法的，那么任意分割方案都是就都是合法的。

要大胆猜想性质！！！

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define V inline void
#define I inline int
#define FOR(i,a,b) for(register int i=a,end##i=b;i<=end##i;++i)
#define REP(i,a,b) for(register int i=a,end##i=b;i>=end##i;--i)
#define go(i,x) for(int i=hed[x];i;i=e[i].pre)
using namespace std;
inline int read()
{
	char x='\0';
	int fh=1,sum=0;
	for(x=getchar();x<'0'||x>'9';x=getchar())if(x=='-')fh=-1;
	for(;x>='0'&&x<='9';x=getchar())sum=sum*10+x-'0';
	return fh*sum;
}
const int N=2e5+9;
int n,fib[39];
struct lian{
	int to,pre;
	bool del;
}e[N<<1];
int hed[N],lcnt=1;
V jlian(int x,int y)
{
	e[++lcnt]={y,hed[x]};
	hed[x]=lcnt;
}
int siz[N],tf,tx,tid;
V getsiz(int x,int fa,int tar)
{
	siz[x]=1;
	go(i,x)
	{
		int to=e[i].to;
		if(to==fa||e[i].del)continue;
		getsiz(to,x,tar);
		siz[x]+=siz[to];
		if(siz[to]==tar) tf=x,tx=to,tid=i;
	}
}
inline bool check(int x,int k)
{
//	cout<<"check "<<x<<' '<<k<<endl;//
	if(k==0||k==1)return true;
	tx=tf=tid=0;
	getsiz(x,0,fib[k-2]);
	if(tid)
	{
		int tmp=tf;
		e[tid].del=e[tid^1].del=true;
		return check(tx,k-2)&check(tmp,k-1);		
	}
	getsiz(x,0,fib[k-1]);
	if(tid)
	{
		int tmp=tf;
		e[tid].del=e[tid^1].del=true;
		return check(tx,k-1)&check(tmp,k-2);		
	}
	return false;
}
int main()
{
	int k=-1;
	n=read();
	fib[0]=fib[1]=1;
	FOR(i,1,30)
	{
		if(i>=2)fib[i]=fib[i-1]+fib[i-2];
		if(fib[i]==n)k=i;
	}
//	cout<<k<<endl;//
//	cout<<fib[30]<<endl;//
	FOR(i,1,n-1)
	{
		int x=read(),y=read();
		jlian(x,y),jlian(y,x);
	}
	if(k==-1)return printf("NO"),0;
	if(check(1,k))printf("YES\n");
	else printf("NO\n");
	return 0;
}