数论复习

文章目录

• 数学复习
• • 费马小定理的证明
  • 逆元
  • 线性求逆元
  • 证明id=1*phi
  • 小于等于n与n互质的数的和
  • 埃氏筛
  • 各种快速乘
  • $\phi$的迭代幂次性质
  • 莫比乌斯反演
  • 整除的左结合性
  • 与n互质的整数和
  • 利用积性函数性质
  • 爆搜/列方程
  • 约数个数函数(d/sigma0)的性质
  • • 性质1
    • 性质2
  • 总结

数学复习

费马小定理的证明

考虑对a进行归纳，然后

逆元

逆元存在当且仅当$(mod,a)=1$

有一个套路对于模意义下的等式都可以转化为同余式

逆元如果存在一定唯一
假设ab=ac=1
b=bac=(ba)c=c

线性求逆元

计算前缀积，然后求逆，可以求出逆的前缀积。

证明id=1*phi

可以考虑所有分数，然后分母为n，然后分子为和分母互质的数，那么总数一定是n

小于等于n与n互质的数的和

可以两两配对，(n,x)=1=>(n,n-x)=1所以总和应该是phi(n)*n/2

埃氏筛

可以区间筛素数，区间分解质因数，利用了每个数的非最大质因数是O(sqrt(n))级别

各种快速乘

https://www.cnblogs.com/812-xiao-wen/p/10543023.html

$\phi$的迭代幂次性质

区间修改 ai->c^{ai}
区间查询

很巧妙的势能线段树，每次暴力修改，每个点最多会被暴力修改log次，最后总复杂度是O(nlog^2n)

莫比乌斯反演

对于比较难求解的函数我们可以考虑求出其约数和和倍数和，然后就可以反演求得这个函数。

整除的左结合性

这个东西可以考虑将其拆分为整数部分和小数部分分别处理。

与n互质的整数和

可以利用莫比乌斯反演来求解
n/2(phi+e)

利用积性函数性质

DZY Loves Math V
这个积性函数的性质本质上告诉我们对于每一维上是独立的关系，所以对于很多问题虽然看上去很复杂，但是可以对于每一维分别考虑，所以我们可以进行拆分然后利用类似于多项式的感觉进行处理，对于每一项单独处理，最后乘起来。

爆搜/列方程

DZY Loves Math VII

1. 已知$\mu n$求解第k小的n
2. 已知$\varphi n$求解第k小的n
3. 已知KaTeX parse error: Undefined control sequence: \d at position 1: \̲d̲{n}求解第k小的n
   对于\mu可以二分+列方程求解为-1或者1的个数，只需要杜教筛前缀和，然后求解无平方因子数即可。
   下面两个都是很玄学的爆搜

约数个数函数(d/sigma0)的性质

性质1

$d(ij)={\sum }_{x|i}{\sum }_{y|j}[(x,y)=1]$

x|i<=>(i/x)|i
这个式子还是有点意思的

证明可以考虑构造双射

性质2

约数个数前缀和可以整除分块求解
${\sum }_{i=1}^n{\sigma }_0(i)={\sum }_{i=1}^n\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$

总结

对于$\mu$的应用

1. 首先是作为容斥系数的应用，可以求解无平方因子数
2. 可以理解为高维差分，所以已知$f$求解$\mu \ast f$可以利用高维差分求解
3. 可以用来处理莫比乌斯反演，见到gcd可以进行处理变换为含$\mu$的和式
4. 处理一些不好直接求的函数，但是因数和或倍数和却很好求，也可能含有gcd，我们就可以反演求解了。
5. 关键定义，只和质因子个数有关