多项式与生成函数复习
多项式与生成函数复习
FFT
系数表示到点值表示
秦九邵算法，多点求值
点值表示到系数表示
高斯消元，插值
代数闭域
任意一个n次多项式，都能找到n个根，复数是代数闭域
IDFT
对于范德蒙德矩阵,求解它的逆矩阵
A
A
∗
=
d
e
t
A
I
n
AA^{*}=detAI_n
AA∗=detAIn
卷积
和一定的卷积
差一定的卷积
多项式操作
多项式除法
多项式多点求值
多项式快速插值
拉格朗日反演
生成函数
普通生成函数
- 乘积的组合意义
- 前缀和与差分：插板法或者广义二项式定理
- 斐波那契数列的OGF：
f
(
x
)
=
x
f
(
x
)
+
x
2
f
(
x
)
+
x
f(x)=xf(x)+x^2f(x)+x
f(x)=xf(x)+x2f(x)+x
f ( x ) = 1 1 − ( x + x 2 ) f(x)=\frac{1}{1-(x+x^2)} f(x)=1−(x+x2)1
f ( x ) = ∑ n > = 0 x n ∑ i = 0 n ( n − i i ) f(x)=\sum_{n>=0}x^n\sum_{i=0}^n\binom{n-i}{i} f(x)=∑n>=0xn∑i=0n(in−i)
所以我们知道 ∑ i = 0 n ( n − i i ) = f n \sum_{i=0}^{n}\binom{n-i}{i}=f_n ∑i=0n(in−i)=fn - 卡特兰数的OGF
f ( x ) = 1 + x f 2 ( x ) f(x)=1+xf^2(x) f(x)=1+xf2(x)
f ( x ) = 1 + − 1 − 4 x 2 x f(x)=\frac{1+-\sqrt{1-4x}}{2x} f(x)=2x1+−1−4x
出现了两个解，将分子有理化得到两个式子，将x=0带入得到了a0所以排除了另一个式子，得到 f ( x ) = 1 − 1 − 4 x 2 x f(x)=\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x} f(x)=2x1−1−4x
指数型生成函数
指数型生成函数的乘法
相当于配凑了一个组合数，然后包含了排列的含义
多项式exp的组合意义
相当于有标号多重组合数的问题
排列与圆排列
排列方案数的EGF为
f
(
x
)
=
∑
n
>
=
0
n
!
n
!
x
n
=
1
1
−
x
f(x)=\sum_{n>=0}\frac{n!}{n!}x^n=\frac{1}{1-x}
f(x)=∑n>=0n!n!xn=1−x1
圆排列的方案数构成的EGF为
g
(
x
)
=
∑
n
>
=
0
(
n
−
1
)
!
n
!
x
n
=
−
l
n
(
1
−
x
)
=
l
n
(
1
1
−
x
)
g(x)=\sum_{n>=0}\frac{(n-1)!}{n!}x^n=-ln(1-x)=ln(\frac{1}{1-x})
g(x)=∑n>=0n!(n−1)!xn=−ln(1−x)=ln(1−x1)
然后这个ln的具体推导方法，可以考虑对那个OGF求导，然后再转化回积分，就可以得到ln的这个式子。
n个点有标号连通图的个数
方法1：容斥
思路就是考虑不连通图的个数，然后我们再枚举编号为1的连通块大小，然后就可以递推了
f
n
=
2
(
n
2
)
−
∑
i
=
1
n
−
1
f
i
2
(
n
−
i
2
)
f_n=2^{\binom{n}{2}}-\sum_{i=1}^{n-1}f_i2^{\binom{n-i}{2}}
fn=2(2n)−∑i=1n−1fi2(2n−i)
通过分治NTT优化可以做到
O
(
n
l
o
g
2
n
)
O(nlog^2n)
O(nlog2n)
浙公网安备 33010602011771号