Softmax 回归

Softmax模型

Softmax回归模型，该模型是logistic回归模型在多分类问题上的推广，在多分类问题中，类标签 \textstyle y 可以取两个以上的值。 Softmax回归模型对于诸如MNIST手写数字分类等问题是很有用的，该问题的目的是辨识10个不同的单个数字。Softmax回归是有监督的，不过后面也会介绍它与深度学习/无监督学习方法的结合。

训练集 \{ (x^{(1)}, y^{(1)}), \ldots, (x^{(m)}, y^{(m)}) \}，其中 y^{(i)} \in \{1, 2, \ldots, k\}

对于测试输入 \textstyle x，用假设函数针对每一个类别 j 估算出概率值 \textstyle p(y=j | x)。因此，假设函数将要输出一个 k 维的向量（向量元素的和为1）来表示这 k 个估计的概率值。假设函数 \textstyle h_{\theta}(x) 形式如下：

         \begin{align} h_\theta(x^{(i)}) = \begin{bmatrix} p(y^{(i)} = 1 | x^{(i)}; \theta) \\ p(y^{(i)} = 2 | x^{(i)}; \theta) \\ \vdots \\ p(y^{(i)} = k | x^{(i)}; \theta) \end{bmatrix} = \frac{1}{ \sum_{j=1}^{k}{e^{ \theta_j^T x^{(i)} }} } \begin{bmatrix} e^{ \theta_1^T x^{(i)} } \\ e^{ \theta_2^T x^{(i)} } \\ \vdots \\ e^{ \theta_k^T x^{(i)} } \\ \end{bmatrix} \end{align}

注意： \frac{1}{ \sum_{j=1}^{k}{e^{ \theta_j^T x^{(i)} }} }  这一项对概率分布进行归一化，使得所有概率之和为 1 。

为了方便起见，我们同样使用符号 \textstyle \theta 来表示全部的模型参数。在实现Softmax回归时，将 \textstyle \theta 用一个 \textstyle k \times(n+1) 的矩阵来表示会很方便，如下所示：

            \theta = \begin{bmatrix} \mbox{---} \theta_1^T \mbox{---} \\ \mbox{---} \theta_2^T \mbox{---} \\ \vdots \\ \mbox{---} \theta_k^T \mbox{---} \\ \end{bmatrix}

 

损失函数：

            \begin{align} J(\theta) = - \frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{k} 1\left\{y^{(i)} = j\right\} \log \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ \theta_l^T x^{(i)} }}\right] \end{align}

        在Softmax回归中将 \textstyle x 分类为类别 \textstyle j 的概率为：

p(y^{(i)} = j | x^{(i)} ; \theta) = \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ \theta_l^T x^{(i)}} } .

                         值得注意的是，上述公式是logistic回归代价函数的推广。logistic回归损失函数可以改为：

                \begin{align} J(\theta) &= -\frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^m (1-y^{(i)}) \log (1-h_\theta(x^{(i)})) + y^{(i)} \log h_\theta(x^{(i)}) \right] \\ &= - \frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=0}^{1} 1\left\{y^{(i)} = j\right\} \log p(y^{(i)} = j | x^{(i)} ; \theta) \right] \end{align}

对于最小化 \textstyle J(\theta) 的问题，用梯度下降法求解：

\begin{align} \nabla_{\theta_j} J(\theta) = - \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}{ \left[ x^{(i)} \left( 1\{ y^{(i)} = j\} - p(y^{(i)} = j | x^{(i)}; \theta) \right) \right] } \end{align}

迭代更新：

\textstyle \theta_j := \theta_j - \alpha \nabla_{\theta_j} J(\theta)(\textstyle j=1,\ldots,k）

 

Softmax回归模型参数化的特点

 

Softmax 回归有一个不寻常的特点：它有一个“冗余”的参数集。为了便于阐述这一特点，假设我们从参数向量 \textstyle \theta_j 中减去了向量 \textstyle \psi，这时，每一个 \textstyle \theta_j 都变成了 \textstyle \theta_j - \psi(\textstyle j=1, \ldots, k)。此时假设函数变成了以下的式子：

 

\begin{align} p(y^{(i)} = j | x^{(i)} ; \theta) &= \frac{e^{(\theta_j-\psi)^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ (\theta_l-\psi)^T x^{(i)}}} \\ &= \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}} e^{-\psi^Tx^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{\theta_l^T x^{(i)}} e^{-\psi^Tx^{(i)}}} \\ &= \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ \theta_l^T x^{(i)}}}. \end{align}

进一步而言，如果参数 \textstyle (\theta_1, \theta_2,\ldots, \theta_k) 是损失函数 \textstyle J(\theta) 的极小值点，那么 \textstyle (\theta_1 - \psi, \theta_2 - \psi,\ldots, \theta_k - \psi) 同样也是它的极小值点，其中 \textstyle \psi 可以为任意向量。因此使 \textstyle J(\theta) 最小化的解不是唯一的。此时我们需要对代价函数做一个改动：加入权重衰减。权重衰减可以解决 softmax 回归的参数冗余所带来的数值问题。

 

权重衰减

通过添加一个权重衰减项 \textstyle \frac{\lambda}{2} \sum_{i=1}^k \sum_{j=0}^{n} \theta_{ij}^2 来修改代价函数，这个衰减项会惩罚过大的参数值，现在我们的代价函数变为：

\begin{align} J(\theta) = - \frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{k} 1\left\{y^{(i)} = j\right\} \log \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ \theta_l^T x^{(i)} }} \right] + \frac{\lambda}{2} \sum_{i=1}^k \sum_{j=0}^n \theta_{ij}^2 \end{align}

有了这个权重衰减项以后 (\textstyle \lambda > 0)，代价函数就变成了严格的凸函数，这样就可以保证得到唯一的解了。

 

这个新函数 \textstyle J(\theta) 的导数，如下：

 

\begin{align} \nabla_{\theta_j} J(\theta) = - \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}{ \left[ x^{(i)} ( 1\{ y^{(i)} = j\} - p(y^{(i)} = j | x^{(i)}; \theta) ) \right] } + \lambda \theta_j \end{align}
通过最小化 \textstyle J(\theta)，我们就能实现一个可用的 softmax 回归模型。

 

Softmax 回归与 Logistic 回归关系

当类别数 \textstyle k = 2 时，softmax 回归退化为 logistic 回归。具体地说，当 \textstyle k = 2时，softmax 回归的假设函数为：

\begin{align} h_\theta(x) &= \frac{1}{ e^{\theta_1^Tx} + e^{ \theta_2^T x^{(i)} } } \begin{bmatrix} e^{ \theta_1^T x } \\ e^{ \theta_2^T x } \end{bmatrix} \end{align}

利用softmax回归参数冗余的特点，我们令 \textstyle \psi = \theta_1，并且从两个参数向量中都减去向量 \textstyle \theta_1，得到:

\begin{align} h(x) &= \frac{1}{ e^{\vec{0}^Tx} + e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x^{(i)} } } \begin{bmatrix} e^{ \vec{0}^T x } \\ e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x } \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \frac{1}{ 1 + e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x^{(i)} } } \\ \frac{e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x }}{ 1 + e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x^{(i)} } } \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \frac{1}{ 1 + e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x^{(i)} } } \\ 1 - \frac{1}{ 1 + e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x^{(i)} } } \\ \end{bmatrix} \end{align}


因此，用 \textstyle \theta'来表示\textstyle \theta_2-\theta_1，我们就会发现 softmax 回归器预测其中一个类别的概率为 \textstyle \frac{1}{ 1 + e^{ (\theta')^T x^{(i)} } }，另一个类别概率的为 \textstyle 1 - \frac{1}{ 1 + e^{ (\theta')^T x^{(i)} } }，这与 logistic回归是一致的。

 

Softmax回归 vs k个二元分类器

 

 

如果你在开发一个音乐分类的应用，需要对 k 种类型的音乐进行识别，那么是选择使用 softmax 分类器呢，还是使用 logistic 回归算法建立 k 个独立的二元分类器呢？

 

这一选择取决于你的类别之间是否互斥，例如，如果你有四个类别的音乐，分别为：古典音乐、乡村音乐、摇滚乐和爵士乐，那么你可以假设每个训练样本只会被打上一个标签（即：一首歌只能属于这四种音乐类型的其中一种），此时你应该使用类别数 k = 4 的softmax回归。（如果在你的数据集中，有的歌曲不属于以上四类的其中任何一类，那么你可以添加一个“其他类”，并将类别数 k 设为5。）

 

如果你的四个类别如下：人声音乐、舞曲、影视原声、流行歌曲，那么这些类别之间并不是互斥的。例如：一首歌曲可以来源于影视原声，同时也包含人声 。这种情况下，使用4个二分类的 logistic 回归分类器更为合适。这样，对于每个新的音乐作品 ，我们的算法可以分别判断它是否属于各个类别。

 

现在我们来看一个计算视觉领域的例子，你的任务是将图像分到三个不同类别中。(i) 假设这三个类别分别是：室内场景、户外城区场景、户外荒野场景。你会使用sofmax回归还是 3个logistic 回归分类器呢？ (ii) 现在假设这三个类别分别是室内场景、黑白图片、包含人物的图片，你又会选择 softmax 回归还是多个 logistic 回归分类器呢？

 

在第一个例子中，三个类别是互斥的，因此更适于选择softmax回归分类器 。而在第二个例子中，建立三个独立的 logistic回归分类器更加合适。

 

转自：http://ufldl.stanford.edu/wiki/index.php/Softmax%E5%9B%9E%E5%BD%92

 

posted on 2014-11-19 16:17  djmjsj  阅读(145)  评论(0)    收藏  举报

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