LDA（Linear Discriminant Analysis）

一、引入

　　回想我们做回归时，如果特征太多，那么会产生不相关特征引入、过度拟合等问题。前面说了PCA降维，但PCA没有将类别标签考虑进去，属于无监督的。

　　比如一个文档中含有“learn”和“study”的问题，使用PCA后，也许可以将这两个特征合并为一个，降了维度。但假设我们的类标签 y 是判断这篇文章的topic是不是有关学习方面的，那么这两个特征对 y 几乎没有什么影响，完全可以去除。

　　再比如，假设我们对一张100*100像素的图片做人脸识别，每个像素是一个特征，那么会有10000个特征，而对应的类别标签 y 仅仅是0/1值，1代表是人脸。这么多特征不仅训练复杂，而且不必要特征对结果会带来不可预知的影响，但我们想得到降维后的一些最佳特征（与y关系最密切的），怎么办呢？

二、线性判别分析

1）（二类情况）

　　回顾我们之前的logistic回归方法，给定N个d维特征的训练样本例x⁽ⁱ⁾{x₁⁽ⁱ⁾,x₂⁽ⁱ⁾,...,x_d⁽ⁱ⁾}( i: 1-->N)，每个x⁽ⁱ⁾对应一个类标签y⁽ⁱ⁾。其中有N₁个样本属于ω₁，另外N₂个样本属于ω₂。我们就是要学习出参数θ，使得 y⁽ⁱ⁾ = g(θ)^Tx⁽ⁱ⁾（g是sigmoid函数）。

　　现在想将d维特征降到只有一维，而又要保证类别能够“清晰”地反映在低维数据上，也就是这一维就能决定每个样例的类别。

　　我们将这个最佳的向量称为w（d维），那么样例x（d维）到w上的投影为：y = w^Tx。这里得到的y值不是0/1值，而是x投影到直线上的点到原点的距离。

　　当x是二维的，我们就是要找一条直线（方向为w）来做投影，然后寻找最能使样本点分离的直线，如下图：

    

     从直观上来看，右图比较好，可以很好地将不同类别的样本点分离。

 

　　如何寻找最佳的w？

　　首先，计算每类样例的均值（中心点）：μ_i = (1/N_i) Σ_x∈ωix

　　由于x到w投影后的样本点均值为：

    

　　所以，投影后的均值也就是样本中心点的投影。

　　什么是最佳直线（w）呢？

     ，J(w)越大越好。但是只考虑 J(w)也不行，如下图：

                                                           

　　样本点均匀分布在椭圆里，投影到横轴x1上时能获得更大的中心点间距J(w)，但是由于有重叠，x1不能分离样本点。投影到x2上，虽然 J(w)较小，但是能够分离样本点。因此我们还需要考虑样本点之间的方差，方差越大，样本点越难以分离。

　　我们使用另一个度量值，称作散列值（scatter），对投影后的类求散列值，如下：

 

                                                         

　　从公式中可以看出，只是少了除以样本数量的方差值，散列值的几何意义是样本点的密集程度，值越大，越分散，反之，越集中。

　　我们当然希望不同类别的样本点越分开越好，同类的越聚集越好，也就是均值差越大越好，散列值越小越好。我们使用J(w)和S来表示最终的度量公式：

                                                          

 

　　接下来只需寻找J(w)最大的w即可。

　　先把散列值公式展开：

                        

　　定义上式中间部分为S_i ：

       （这不就是少了除以样例数的协方差矩阵吗？在此称为散列矩阵(scatter matrices)）

　　S_w = S₁ + S₂  （S_w称为 Within-class scatter matrix）

　　得：

　  

    

　　然后我们展开分子：

　　 

　　S_B称为Between-class scatter，是两个向量的外积，虽然是个矩阵，但秩为1。

　　那么J(w)最终可表示为：

　　       

　　在求导之前，需要对分母进行归一化，因为不做归一的话，w扩大任何倍都成立，我们就无法确定w。因此令||w^TS_ww||=1，那么加入拉格朗日乘子后，求导：

　　                                                          

　　      

            

            

　　由于对 w 扩大缩小任何倍不影响结果，因此可约去两边的未知常数λ和λ_w，得到    。

　　至此，我们只需要求出原始样本的均值和方差就可以求出最佳的方向w，上面二维样本的投影结果如下图：

　                                    　  

 

2）（多类情况）

　　前面只是针对两类的情况，假设类别变成多个，那么要怎么改变，才能保证投影后类别能够分离呢？

　　而且，之前是讨论如何将 d 维降到一维，现在类别多了，一维可能已经不能满足要求。假设我们有 C 个类别，需要 k 维向量（基向量）来做投影。

　　将这 k 维向量表示为 W = [w₁|w₂|...|w_k]，样本点在这 k 维向量投影后结果表示为[y₁,y₂,...,y_k]，有以下公式成立：

                           

　　当样本是二维时，我们从几何意义上考虑：

                                   

　　其中μ_i 和S_w与上节的意义一样，S_w1是类别1里的样本点相对于该类中心点μ₁ 的散列程度。S_B1变成类别1中心点相对于样本中心点μ 的协方差矩阵，即类1相对于μ 的散列程度。

　　        ，   

　　S_B需要变，原来度量的是两个均值点的散列情况，现在度量的是每类均值点相对于样本中心的散列情况。类似于将μ_i 看作样本点，μ 是均值的协方差矩阵，如果某类里面的样本点较多，那么其权重稍大，权重用N_i/N表示，但由于J(w)对倍数不敏感，因此用N_i。

　　   ，其中      ，μ是所有样本的均值。

　　上面讨论的都是在投影前的公式变化，但真正的J(w)的分子分母都是在投影后计算的。下面我们看样本点投影后的公式改变：

　　第i 类样本点在某基向量上投影后的均值计算公式：

　　                       

　　下面两个是在某基向量上投影后的S_w 和 S_B：

　　       ，　   

　　综合各个投影向量（w）上的和，更新这两个参数，得到：

　      ，    

　　W是基向量矩阵， 是投影后的各个类内部的散列矩阵之和， 是投影后各个类中心相对于全样本中心投影的散列矩阵之和。

　　上面两类情况，对于J(w),分子是两类中心距，分母是每个类自己的散列度。现投影方向是多维了（好几条直线），分子不是求两两样本中心距之和（这个对描述类别间的分散度没有用），而是求每类中心相对于全样本中心的散列度之和。最后的J(w)形式是：

                                    

　　整个问题又回归为求J(w)最大值了，我们固定分母为1，然后求导，得出最后结果：

　　    ，与上节得出的结论一样， 

　　最后还归结到了求矩阵的特征值上来。首先求出  的特征值，然后取前k个特征向量组成W矩阵即可。

　　注意：由于S_B中的(µ_i - µ)秩为1，因此S_B的秩至多为C（矩阵的秩小于等于各个相加矩阵的秩的和）。由于知道了前C-1个µ_i 后，最后一个µ_c 可以有前面的µ_i 来线性表示，因此S_B的秩至多为C-1.那么k最大为C-1，即特征向量最多有C-1个。特征值大的对应的特征向量分割性能最好。

　　由于  不一定是对称阵，因此得到的k个特征向量不一定正交，这也是与PCA不同的地方。

 

转自：http://www.cnblogs.com/jerrylead/archive/2011/04/21/2024384.html