51nod 1009 - 数字1的数量 - [数位DP][模板的应用以及解释]

题目链接：https://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1009

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给定一个十进制正整数N，写下从1开始，到N的所有正数，计算出其中出现所有1的个数。

 

例如：n = 12，包含了5个1。1,10,12共包含3个1，11包含2个1，总共5个1。

Input

输入N(1 <= N <= 10^9)

Output

输出包含1的个数

Input示例

12

Output示例

5

 

题解：

这道题跟前面的HDU2089和HDU3555这两道题有一点不同，dp数组的设定不是很一样。

本题解的前提是，默认为阅读过“数位dp总结 之 从入门到模板 http://blog.csdn.net/wust_zzwh/article/details/52100392”；

 

首先我们可以清楚地定义好，输入一个上界，那么它的位数就是“最大位数”，暂且定义为len；

然后我们的pos，定义域是在[0,len]，它其实不是准确指定某一个长度的数；

而是说，它现在这个dp[pos][…]值，我们只管到范围从第1位到第pos位，再宽的话，抱歉我管不了。

 

首先，我们说清楚“位”：

　　

 

接下来我们要设计dfs函数；

dfs(pos,cnt,limit)代表：

　　已知第pos+1位到第len位上已有cnt个“1”（这是状态state）；

　　已知我现在要进行枚举的第pos位有没有上界限制（有上界限制的话上界up = dig[pos]，没有的话上界up = 9）；

　　然后这个函数就能给你返回：第1位到第pos位上枚举所有可能出现的数字（每一位都可任意填0~9），连接上前面第pos+1位到第len位上已经确定下来的数字，共出现了多少个“1”。

例如：

　　N = 1200，len = 4，pos= 2，limit = 0，已确定第3~4位是“01”（即cnt=1，出现了一个“1”），

　　第1位到第2位上就可以从00枚举到99，那么dfs(2,1,0)的返回值就是0100到0199出现了多少个“1”；

这样设计的一个原因是，我们必须要求我们的dfs(pos,cnt,limit)能够在传入参数后，能迭代返回我们需要的答案。

换句话说，样例输入N = 1200，那么配合一个dig数组（dig[1]=0,dig[2]=0,dig[3]=2,dig[4]=1），我们的dfs(4,0,1)函数就能给你正确答案。

 

接下来是关于dp数组的定义：

dp数组可以说是dfs函数的记忆化，可以说dp[pos][cnt]的值就等于dfs(pos,cnt,0)；

只要你算过一次dfs(pos,cnt,0)，就用dp[pos][cnt]给你记录下来，在没有上界限制的情况下，可以直接使用dp[pos][cnt]，而不用再去dfs(pos,cnt,0)，节省大量时间。

例如：

　　继续用前面的例子，N = 1200，len = 4，pos= 2，limit = 0，

　　确定第3~4位是“01”（即cnt=1，出现了一个“1”），或者第3~4位是“10”（依然cnt=1，出现了一个“1”），

　　第1位到第2位上从00枚举到99，那么“0100到0199”和“1000到1099”出现的“1”的个数是一样的，

　　那么我们记录下“0100到0199”的第一次dfs(2,1,0)的返回值，存储在dp[2][1]，那么之后要去算“1000到1099”的时候直接返回dp[2][1]即可；

 

然后设计dfs()函数的转移：

　　dfs(pos,cnt,limit) 等于：暴力枚举第pos位上的数：i = 0 ~ ( limit ? dig[pos] : 9 )，累加起所有dfs( pos - 1, cnt + ( i==1?1:0) , limit && i == dig[pos] ).

 

最后！……配上数位DP的板子，就很好写啦。

 

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int dig[11];
ll dp[11][11];
int N;

ll dfs(int pos,int cnt,bool limit)
{
    if(pos==0) return cnt; //已经精确到某一个数，那么直接返回这个数有几个“1”.
    if(!limit && ~dp[pos][cnt]) return dp[pos][cnt]; //如果曾今计算过dfs(pos,cnt,0)，直接返回dp[pos][cnt]

    int up=limit?dig[pos]:9; //确定当前第pos位的枚举上界
    int ans=0; //定义ans变量，记录累加结果，在函数最后return ans
    for(int i=0;i<=up;i++) //暴力枚举当前第pos位的数
    {
        if(i==1) ans+=dfs(pos-1,cnt+1,limit && i==up); //如果当前位为1
        else ans+=dfs(pos-1,cnt,limit && i==up); //如果当前位不为1
    }

    if(!limit) dp[pos][cnt]=ans; //将dfs(pos,cnt,0)记录到dp[pos][cnt]
    return ans;
}
ll solve(int x)
{
    int pos=0;
    while(x) //将上界N记录到dig数组中
    {
        dig[++pos]=x%10;
        x/=10;
    }
    return dfs(pos,0,1);
}

int main()
{
    while(scanf("%d",&N)!=EOF)
    {
        memset(dp,-1,sizeof(dp));
        printf("%lld\n",solve(N));
    }
}