中国剩余定理详解

对于一个数x,知道:

x%m1=a1,x%m2=a2,x%m3=a3.(m1,m2,m3)互质。

求x。

我们来形象化一下:

一个数,%3=1,%5=1,%7=2,这个数是什么?

稍微试一试发现是16,那么怎么正常地算出来呢?

我们首先要弄明白一件事:

如果a%b==c,那么a加上一个b的倍数,%b还是余c。这个还是很显而易见的吧。

那我我们想要求出的x,可以分为三个数相加

x=A1+A2+A3.其中A1%3=1,A2%5=1,A3%7=2.A2、3是3的倍数,A1、3是5的倍数,A1、2是7的倍数。

我们先求A3,A3要满足是5、3的倍数,也要满足%7=2,。

首先,我们知道它一定是15的倍数,那么我们要知道怎样才能满足%7=2

如果要求%7=2,只用求出来%7=1,然后再乘2就可以了。

于是得到了如下方程

15*t≡1(mod 7)

似曾相识,这个方程相当于15*t+7*y=1可以用拓展欧几里得求解。

然后,我们知道t=1,也就是15*1%7=1,所以15*1*2%7就等于2.

于是A3就等于15*1*2=30,

以此类推,求出来A1、A2,最后加起来就是答案。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#define REP(i,k,n)  for(LL i=k;i<=n;i++)
#define in(a) a=read()
using namespace std;
typedef long long LL;
inline LL read(){
    LL x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar())
        if(ch=='-')
            f=-1;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar())
        x=x*10+ch-'0';
    return x*f;
}
LL T;
inline void exgcd(LL A,LL B,LL &x,LL &y){
    if(B==0)  x=1,y=0;
    else  exgcd(B,A%B,x,y),T=x,x=y,y=T-A/B*y;
}
LL n,a[50],b[50],m[50],t[50];
LL M=1,ans;
int main(){
    in(n);
    REP(i,1,n)  in(a[i]),in(b[i]),M=M*a[i];
    REP(i,1,n){
        m[i]=M/a[i];
        LL x,y;
        exgcd(m[i],a[i],x,y);
        t[i]=x;
        ans=((ans+(b[i]*t[i]*m[i])%M+M)%M)%M;
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}
/*3
3 1
5 1
7 2*/

 

posted @ 2019-03-18 15:36  Dijkstra·Liu  阅读(397)  评论(0编辑  收藏  举报