蓄水池抽样算法

蓄水池抽样算法

1. 蓄水池抽样问题

从N个元素中随机的抽取k个元素，其中N无法确定。

2. n个样本中随机抽取1个（n未知）

这个问题是蓄水池抽样问题的一个特例，即 k=1。

解法：
我们总是选择第一个对象，以 1/2 的概率选择第二个，以 1/3 的概率选择第三个，依此类推，以 1/m 的概率选择第 m 个对象。当该过程结束时，每一个对象具有相同的选中概率，即 1/n，证明如下。
证明：
第 m 个对象最终被选中的概率 P = 选择 m 的概率 * 其后面所有对象不被选择的概率，即

2.1 实例：链表的随机结点（leetcode382）

2.1.1 题目描述

给定一个单链表，随机选择链表的一个节点，并返回相应的节点值。保证每个节点被选的概率一样。

进阶:
如果链表十分大且长度未知，如何解决这个问题？你能否使用常数级空间复杂度实现？

2.1.2 代码实现

class Solution {
    private ListNode head;
    public Solution(ListNode head) {
        this.head = head;
    }
    
    public int getRandom() {
        int res = head.val;
        ListNode p = head.next;
        int i = 2;
        Random random = new Random();
        while(p!=null){
	    //生成一个[0,i)之间的随机数
            if(random.nextInt(i) == 0){
                res = p.val;
            }
            i++;
            p = p.next;
        }
        return res;
    }
}

3. n个样本随机抽取m个不同样本（n未知）

解法：
先把读到的前k个对象放入“水库”，对于第 k+1 个对象开始，以 k/(k+1) 的概率选择该对象，以 k/(k+2) 的概率选择第 k+2 个对象，以此类推，以 k/m 的概率选择第 m 个对象（m>k）。如果 m 被选中，则随机替换水库中的一个对象。最终每个对象被选中的概率均为 k/n。
证明：
第 m 个对象被选中的概率 = 选择 m 的概率（其后元素不被选择的概率+其后元素被选择的概率不替换第m个对象的概率），即