巨大的矩阵（矩阵加速）

https://www.luogu.com.cn/problem/P1397

第2题     巨大的矩阵 查看测评数据信息

超级计算机计算效率非常快，小明购买了一台超级计算机，用超级计算机生成一个巨大的矩阵A，矩阵A有n行m列的矩阵。A[i][j]表示矩阵A第i行第j列的元素，超级计算机生成矩阵A满足如下性质：A[1][1]=1,

A[i][j]=a*A[i][j-1]+b  (j!=1),

A[i][1]=c*A[i-1][m]+d (i!=1)。

其中a,b,c,d都是常数。超级计算机计算出的A[n][m]的值是多少？，结果可能很大，对1000000007取模。

输入格式

 

第一行六个整数n,m,a,b,c,d

1<=n,m,a,b,c,d<=1e9

 

输出格式

 

一个整数，对1000000007取模

 

输入/输出例子1

输入：

3 4 1 3 2 6

 

输出：

85

 

样例解释

 

 

 

1.对于有规律性的矩阵处理（这个分析到后面才能慢慢发现规律），考虑分段处理

2.第一次看题就是看是否是一次性无法处理的矩阵，如果一次性无法很好处理，也考虑分段处理

由于题目有两个递推式子，且是相互关联的，一个矩阵没法很好解决。我们分开处理两个矩阵。分个段处理

对于列：f(i, j)=a*f(i, j-1)+b
我们已知肯定有j-1，但是单凭这一个条件不够推，+b没法满足，所以补一个1（这里不要直接补b，而是补1，不然后面一个矩阵也要借助这个初始矩阵去计算，如果改成b后面那么矩阵就算不了了！！！）
[f(i, j-1), 1] * [ A ] = [f[i, j], 1]

 

所以可以推出A矩阵

[a, 0]

[b, 1]

 

对于行：f(i, 1)=c*f(i-1, m)+d
跟列一样，补一个1
[f(i-1, m), 1] * [ B ] = [f[i, 1], 1]

可以推出B矩阵

[c, 0]

[d, 1]

 

分别处理完之后，我们可以处理每一行的值分别是多少，并发现这其实是一个规律！

第一行+第二行第一个数 A^(m-1) · B
第二行+第三行第一个数 A^(m-1) · B
.......
第n行+第n+1行第一个数 A^(m-1) · B

那不就出来了吗，我们对这个式子进行快速幂即可，注意是n-1次，然后再乘A矩阵，因为直接乘n次算的是第n+1行第一个数的值

 

答案：
(A^(m-1)·B ) ^ (n-1) * A^(m-1)

对于这题，我们最后发现是有规律性的，所以我们分了两段，分段处理

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=105, Mod=1000000007;

struct mp
{
	int n, m;
	int a[N][N];
	
	void init(int row, int col, bool isI)
	{
		n=row, m=col;
		memset(a, 0, sizeof a);
		
		if (isI)
			for (int i=1; i<=row; i++) a[i][i]=1;
	}	
}A, B, C;
mp operator * (const mp A, const mp B)
{
	mp C;
	C.init(A.n, B.m, 0);
	for (int i=1; i<=A.n; i++)
		for (int j=1; j<=B.m; j++)
			for (int k=1; k<=A.m; k++)
				C.a[i][j]=(C.a[i][j]+A.a[i][k]*B.a[k][j])%Mod;
		
	return C;
}
mp qpow_mp(mp A, int k)
{
	mp res;
	res.init(A.n, A.m, 1);
	while (k>0)
	{
		if (k&1) res=res*A;
		A=A*A;
		k>>=1;
	}
	
	return res;
}
int n, m, a, b, c, d;
signed main()
{
	scanf("%lld%lld%lld%lld%lld%lld", &n, &m, &a, &b, &c, &d);
	A.init(1, 2, 0);
	A.a[1][1]=1, A.a[1][2]=1;
	
	B.init(2, 2, 0);
	B.a[1][1]=a, B.a[1][2]=0;
	B.a[2][1]=b, B.a[2][2]=1;
	
	C.init(2, 2, 0);
	C.a[1][1]=c, C.a[1][2]=0;
	C.a[2][1]=d, C.a[2][2]=1;

	A=A*qpow_mp(qpow_mp(B, m-1)*C, n-1)*qpow_mp(B, m-1);
	printf("%lld", A.a[1][1]);
	return 0;
}