合法方案数（dp）

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第3题     合法方案数 查看测评数据信息

有n个人，他们要进行下面的进程：每轮设存活i个人，那么每个存活的人会对其他人造成1点血量的代价，血量小于等于零就会被淘汰，现在需要你给他们每个人设置一个在[1,x]之间的初始血量，使得某轮游戏结束后，无人生还，求这样的方案数。对998244353取模

输入格式

 

第一行两个整数n和x

2<=n<=500,1<=x<=500

 

输出格式

 

一个整数

 

输入/输出例子1

输入：

2 5

 

输出：

5

 

样例解释

无

 

定dp状态时，不知道每个值的具体数，但又需要用到，可以定为这一堆值中的最大值是多少，再慢慢推！

 

又一道dp好题

这题看着是很迷糊的，但是看到方案数应该要想到dp。考虑到n的范围较小，可以选用二维到三维。我们先考虑二维，不行再补一个维

定f(i, j)表示: 现在有i个人活着，且这i个人最大的那个人的血量j

这是根据题目中两个关键变量定的，第二维就很奇妙，几乎涵盖每个人的血量

然后分类转移。

由题目知，每个人会扣i-1的血量，那我们讨论这一堆人是死光还是没死光

死光：

i-1>=j，很显然是这个条件，具体转移方程呢？

考虑用减法原理（正面不好想）转化为，全部方案数-最大血量不为j的数量，就求出了最大血量为j的方案数

全部方案数：每个人最多j点血量，共i人，全部方案数就为  j^i

最大血量不为j：每个人最多j-1点血量，共i人，全部方案数就为  (j-1)^i

总结就是 f(i, j)=j^i-(j-1)^i

 

没死光：

就是死光的反过来，i-1<j

没死光可以讨论部分人活着，部分人死了，最后他俩相乘即可

设活着k人。那么考虑这k个人分别在哪个位置，以及他们的最大血量（j减去i-1嘛）

活着方案数：C(i, k) * f(k, j-(i-1)) 

死了的人，死前最大血量容易得出是i-1，即为扣除血量，有i-k人死了，就推出以下式子（因为活着的人位置已经选过了，那死的人的位置自然确定好了）

死了方案数： (i-1)^(i-k)

 

总结就是 f(i, j)=C(k, i) * f(k, j-(i-1)) * (i-1)^(i-k)

 

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=505, Mod=998244353;

int n, x;
long long ans=0, f[N][N], yh[N][N];
long long Pow(long long a, long long b)
{
	long long sum=1;
	while (b)
	{
		if (b&1) sum=sum%Mod*a%Mod;
		b>>=1;
		a=a*a%Mod;
	}
	return sum;
}
void yanghui()
{
	for (int i=1; i<504; i++)
	{
		yh[i][1]=yh[i][i]=1;
		for (int j=2; j<i; j++)
		{
			yh[i][j]=(yh[i-1][j]+yh[i-1][j-1])%Mod;
		}
	}
}
long long C(int n, int m)
{
	return yh[n+1][m+1];
}
int main()
{
	yanghui();
	scanf("%d%d", &n, &x);
	
	for (int i=2; i<=n; i++)
	{
		for (int j=1; j<=x; j++)
		{
			if (i-1>=j) f[i][j]=(Pow(j, i)-Pow(j-1, i)+Mod)%Mod;
			else
			{
				for (int k=1; k<=i; k++)
				{
					f[i][j]=(f[i][j]+((C(i, k)*f[k][j-(i-1)])%Mod*Pow(i-1, i-k))%Mod)%Mod;
				}
			}
		}
	}
	
	for (int i=1; i<=x; i++) ans=(ans+f[n][i])%Mod;
	
	printf("%lld", ans);
	return 0;
}