修塔（gcd+裴蜀定理）

第3题     修塔 查看测评数据信息

有编号1~n 的n个塔,除了两个塔a和b 是好的不用修以外,其他都需要重修。

james和jordan展开修塔比赛，规则是轮流修，每次可以修第j+k或j-k号塔，其中j和k是已经修好的任意两个塔，

如果不能修塔，就输了。给出n,a,b，从 james开始，问最后谁赢了。

 

输入格式

 

第一行，一个整数T， 1<=T<=10000,表示有T组测试数据。

接下来T行，每行3个整数: n,a,b。2<a,b,n≤200000。a！=b。

 

 

 

 

输出格式

 

共T行，每行一个字符串。

 

 

输入/输出例子1

输入：

1

5 2 3

 

输出：

james

 

 

样例解释

无

 

问题分析：

分析一下，第一轮可能是a-b，a+b，b-a，b+a

第二轮可能是a-2b，2a-b，2a+b，2b+a，b-2a，2b-a，等等等等

我们发现这些数都是由 xa+yb组合而来的，很像线性组合，其中x，y为整数

考虑几个线性组合相加，ax1+by1+ax2+by2=a(x1+x2)+b(y2+y1)，2个整数相加的结果也是整数

有可能得出7a+3b吗？可以的，比如a+a+...+a+b+b+b，7a-3b也都可以取到

但是1<= 7a+3b <=n 才可以取到。我们举例，4x+6y，结果一定是gcd（4，6）的倍数

一共有n/gcd（a，b）个塔，根据上面举例推广而来，这样就只要判断塔的奇偶性即可求出答案

如果能算出所有能修的塔的数量P,然后判断P的奇偶,若P为奇数,就是先手 james赢，P为偶数就是后手jordan赢。

可以试试暴力计算P。先预处理出a、b、a+b、a-b、2a+b、2a-b等,即可以修的塔的编号a和b的线性组合，即ax+by，再判断这些塔号是否合法，判断时需要枚举工和y，复杂度为O(n^2)。（也可以用宽搜）

下面用数论的办法直接得到P。根据裴蜀定理，ax + by是gcd(a,b)的整数倍,也就是说，P是所有gcd(a,b)的倍数的个数,则P = n/gcd(a,b)。

 

以下是参考程序：

 

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int t, n, a, b;
int gcd(int a, int b)
{
	if (b==0) return a;
	return gcd(b, a%b);
}
int main()
{
	scanf("%d", &t);
	while (t--)
	{
		scanf("%d%d%d", &n, &a, &b);
		if ((n/gcd(a, b))%2==0) printf("jordan\n");
		else printf("james\n");
	}
	return 0;
}