伪随机数（gcd+裴蜀定理）

第2题     伪随机数 查看测评数据信息

一个生成伪随机数的函数，seed(a+1)=[seed(a)+STEP] % MOD,为了能产生0~MOD-1的所有数,需要设定合适的 STEP和 MOD。

例如,STEP=3， MOD=5，产生0,3,1,4,2，这是正确的设定;

若STEP=15,MOD=20,只能产生0,15,10,5,这是错误的设定。

 

输入格式

 

多组测试数据。

第一行，一个整数T，表示T组测试数据。1<=T<=10000。

每组测试数据输入两个数 STEP、MOD, 判断是否为正确的设定。1≤STEP,MOD<2000000000。

 

 

 

 

输出格式

 

共T行，正确的设定输出”yes”,否则输出”no”。

 

 

输入/输出例子1

输入：

2

3 5

15 20

 

输出：

yes

no

 

 

样例解释

无

 

 

题目的要求可以转化为x * STEP %MOD = d，其中x是倍数，d要取到0~MOD-1的所有值。

 

为方便分析,设a = STEP, b = MOD，式子变为ax % b = d（令ax%b=d，ax-zb=d，z是整数，再令y=-z，即ax+yb，x，y也是整数）

, 等价于ax + by = d（d={0,1,2,3.....，d-1}，ax+by=gcd（a，b）的倍数=d）。

我们gcd（a，b）>1，可能是gcd（a，b）=2，那么d永远只能取2,4,6...2的倍数，不能取到1,3,5,7....。gcd（a，b）=3，也是如此

证明gcd（a，b）只可能为1

 

根据裴蜀定理，d 是gcd(a,b)的整数倍时有解;若gcd(a ,b) = 1, 那么d能取到0至d-1的所有值。

 

【思考】如何证明x是可以取连续的[0,n-1]就一定满足题意？

 

因为根据裴蜀定理，若gcd(a ,b) = 1，ax + by = d（d取1，2，...Mod-1）是一定存在解的，且x也一定由正整数解，

 

那么x从0逐步增加到Mod-1时，(x * STEP) %MOD的值一定不重复，因为一旦重复，就会形成环，就会有一些d无解了。

 

所以,只需要判断 gcd(a,b)=gcd(STEP,MOD)=1是否成立, 若成立,则是正确的设定。

 

 

以下是参考程序：

 

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int t, a, b;
int gcd(int a, int b)
{
	if (b==0) return a;
	return gcd(b, a%b);
}
int main()
{
	scanf("%d", &t);
	while (t--)
	{
		scanf("%d%d", &a, &b);
		if (gcd(a, b)==1) printf("yes\n");
		else printf("no\n");
	}
	return 0;
}