随笔分类 -  数论基础

FWT 快速沃尔什变换
摘要：FWT 快速沃尔什变换 对于整数数组进行位运算卷积的快速计算方式，和 FFT 类似的时间复杂度 \(O(n\log n)\) 引入 位运算卷积：\(C_i=\sum\limits_{i=j\otimes k} A_jB_k\) ，其中 $\otimes $ 表示某种位运算操作 正变换：通过 \(A, 阅读全文
posted @ 2025-08-11 22:05 才瓯 阅读(23) 评论(0) 推荐(0)
FFT 快速傅里叶变换
摘要：FFT 快速傅里叶变换 高效实现 DFT 离散傅里叶变换的一种手段，可以将两个 \(n\) 次多项式相乘的时间复杂度优化到 \(O(n\log n)\) 的算法 引理：给定 \(n\) 个点可以确定 \(n-1\) 次函数曲线的系数和系数存在映射关系 设两个多项式分别为 \(F(x),G(x)\) 阅读全文
posted @ 2025-08-08 20:34 才瓯 阅读(13) 评论(0) 推荐(0)
威尔逊定理、裴蜀定理
摘要：数论基础H 威尔逊定理 判定整数 \(p\) 为质数的充分必要条件是： \[(p-1)!\equiv -1 (\mathrm{mod}\ p) \]充分性证明：当 \(p\) 不为质数时 \(p\) 可以被表示为完全平方数，即 \(p=k^2\) 当 \(k>2\) 时，显然有 \(2k<p=k^2 阅读全文
posted @ 2025-07-27 18:48 才瓯 阅读(42) 评论(0) 推荐(0)
同余类、欧拉降幂
摘要：数论基础G 同余类 给定一个正整数 \(n\) ，将所有整数依据模 \(n\) 的余数 \(r\in[0,n-1]\) 分为 \(n\) 类，其中每一类都可以被表示为 \(C_r=nx+r\) ，一个 \(C_r\) 构成的一个集合是模 \(n\) 的一个同余类 完全剩余系 给定一个正整数 \(n\ 阅读全文
posted @ 2025-07-23 15:48 才瓯 阅读(12) 评论(0) 推荐(0)
筛法求约数个数、约数和定理
摘要：数论基础F 约数 定义：\(a|b\) 表示 \(a\) 整除于 \(b\) （\(b\) 能被 \(a\) 整除），\(b\) 为 \(a\) 的倍数，\(a\) 为 \(b\) 的约数 规定 \(0\) 是所有非 \(0\) 整数的倍数，且对于非 \(0\) 整数 \(b\) ，\(b\) 的约 阅读全文
posted @ 2025-05-21 19:23 才瓯 阅读(30) 评论(0) 推荐(0)
同余式、乘法逆元、费马小定理
摘要：数论基础E 同余式 如果两个整数 \(a,b\) 对 \(m\) 取余的余数相同，则 \(a,b\) 模 \(m\) 同余，记作 \(a\equiv b(mod\ m)\) 乘法逆元 若两个整数 \(a,b\) 互质，且满足同余方程 \(a\cdot x\equiv 1(mod\ b)\) ，则定义 阅读全文
posted @ 2025-02-09 21:09 才瓯 阅读(27) 评论(0) 推荐(0)
筛法求欧拉函数
摘要：数论基础C 欧拉函数 \(1\) ~ \(n\) 中与 \(n\) 互质的数的个数叫做欧拉函数，记作 \(\varphi (n)\) 有性质如下： 存在质数 \(p\) ，则 \(\varphi(p)=p-1\) 存在质数 \(p\) ，则 \(\varphi(p^k)=(p-1)p^{k-1}\) 阅读全文
posted @ 2025-02-05 22:19 才瓯 阅读(17) 评论(0) 推荐(0)
整除分块
摘要：数论基础D 整除分块/数论分块 快速计算一群向下取整的和式，打包同时计算拥有相同的 \(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\) 的分式，时间复杂度可以优化到 \(O(\sqrt n)\) 例如需要计算 \[\sum_{i=1}^{n} \lfloor \frac{n}{i} \rfl 阅读全文
posted @ 2025-02-05 22:19 才瓯 阅读(27) 评论(0) 推荐(0)
质数筛
摘要：数论基础B 试除法判定质数 暴力做法：枚举 \(2\) ~ \(n-1\) 的所有数，判断能否将 \(n\) 整除，如果存在一个数能把 \(n\) 整数，说明 \(n\) 不是质数 实际上只需要枚举到 \(\sqrt{n}\) 即可，如果 \(a\) 是 \(n\) 的约数，那么 \(\frac{n 阅读全文
posted @ 2025-01-02 15:18 才瓯 阅读(26) 评论(0) 推荐(0)
欧几里得算法、惟一分解定理
摘要：数论基础A 欧几里得算法（辗转相除法）求最大公约数GCD 有两个整数 \(a,b(a>b)\) ，记它们的最大公约数为 \(gcd(a,b)\)，对于任意的 \(a,b\ne 0\) 满足等式 ： \[gcd(a,b)=gcd(b,a\% b) \] 充分性证明： 设 \(d\) 为 \(a,b\) 阅读全文
posted @ 2024-12-29 17:39 才瓯 阅读(24) 评论(0) 推荐(0)