OO 2022 第一单元(表达式变换)思路分析

去年的作业要求是求导，今年题目换成拆括号+内联自定义函数了。

补充一种今年想到的基于表达式树的表达式存储架构（去年本人的作业采用的是语法分析树，比今年想到的这个表达式树要复杂一些）。

架构示意

在此表达式树存储的基础上, 我们可以很方便地进行拆括号与化简操作。

在进入正题之前，首先补充一些基本设定:

• 在这个表达式树中是不存在减法的。如果要存储 a-b，则以 a + -1*b 的形式存储，为减数 b 添加一个系数 -1。
• 每一种树节点均应实现 equals 和 hashCode 这两个方法，其作用主要有以下两点:
  • 判断两个项是否是同类项，需要比较其非系数部分是否完全相等
  • 能够使表达式树对象被装入 HashSet 或者作为 HashMap 的 Key。
• 加法节点代表累加，乘法节点代表累乘，这两种节点内部都需要用容器来管理其子节点。
  • 相比于有序的容器 List，本人更加倾向使用无序的容器 Set 或 Map（例如 HashSet），因为加法和乘法都满足交换律，顺序不重要。
  • 使用 HashSet 存储子节点时，同一个累加运算下不能出现两个完全相同的项，如出现了，则将即将加入的项乘以 2 加入，并从 HashSet 中删除原有的旧元素。
    例如 x+x，当准备添加第二个 x 时，HashSet 中已经有了一个 x，此时将旧的 x 删掉，并创建一个 2*x 加入 HashSet 中。对于乘法同理，sin(x)*sin(x) 将以 sin(x)**2 存储。但 x+2*x 可以存在，因为 x 和 2*x 是两个不同的项，可以在同一个加法运算节点的 HashSet 下共存。

括号拆解

首先说拆括号，在暂不考虑函数的前提下，必须拆括号的情形主要有以下几种:

• (a+b)+c, 即一个累加节点的子节点是累加节点。解决方案: 这种表达式树的累加和累乘节点均有多个子节点，其内部用容器来管理子节点（推荐用 Set 或 Map 而不是 List，因为加法和乘法满足交换律，顺序不重要）。我们只需让累加和累乘节点实现 合并 操作（类似于 Java 容器的 addAll 方法），将 a 和 b 并到上层，也就的到了 a+b+c
• (a*b)*c, 即累乘节点有子节点是累乘。解决方案同上。
• (a+b)*c, 即累乘节点有子节点是累加。解决方案: 这时需要利用乘法分配律，循环遍历累加节点下的子节点，并且对累加运算的每个项，复制一份累乘节点下其他的因子并与之相乘，最后将这些相乘的结果相加，即得到 a*b + a*c。
• (...)**n, 乘幂节点的底数是累加或累乘。解决方案: 与乘法分配律类似，多次利用乘法分配律。

化简

接下来讨论化简。主要考虑的化简是合并同类项以及乘幂的折叠等。

在开始化简之前，我们需要做这样的一个准备工作: 为表达式树的每种节点实现 equals 和 hashCode 方法。这两个方法的含义不在此赘述，只需要确保实现之后，我们可以判断两棵树是相等的（例如两个 x*sin(x)*cos(x**2) 相等，更进一步, x**2+2*x+1 和 1+x**2+x*2 这两棵树也应该是相等的，因为加法和乘法顺序不重要）

有了判断两棵树相等的能力（以及将树存入 HashSet 或者作为 HashMap 的 key 的能力）后，就可以正式开始实现化简操作了。这里以合并同类项距离，乘幂折叠的操作与合并同类项相似。

同类项合并

例如 2*sin(x**2)*x**3 + 3*x**3*sin(x**2) 应化简为 5*sin(x**2)*x**3。所谓同类项，也就是除了常数的系数以外，其余含有字母的部分是相同的。

首先，我们需要能够判断出来什么样的两个表达式是同类项，也就是将任何一棵表达式树表示成 系数 * 其他部分 的形式。因此，我们可以对每一种表达式树节点实现 查询系数 和 查询非系数部分 两个方法（注意我们并不需要真正把系数存下来，只需要能查询即可），其中 查询系数 返回一个整数，而 查询非系数部分 返回一棵表达式树。

• 累加节点: 系数为 1，非系数部分为自身。例如 a+b 等价于 1*(a+b)。注意，两个累加节点不可以合并同类项，否则会产生新的括号。但是可以将它们合并到一起。例如 a+b + a+b 合并为 a+b+a+b。
• 累乘节点: 遍历存储其子节点的容器, 将所有的常数节点提取出来，计算其乘积作为系数。而剩下的节点用一个新的累乘号连接起来就是非系数部分。
• 常数节点: 系数是自身, 非系数部分无。
• 三角函数、变量等: 系数为 1，非系数部分为自身。

对于 Java 中遍历容器的操作，可以尝试采用 stream 简化代码。

实现了以上两个查询方法后，我们就可以对一个累加节点的子节点们进行合并同类项:

• 创建一个 HashMap<Node, Integer> ，Key 为代表非系数部分的表达式树，Value 为其对应的系数之和。
• 依次遍历累加节点的每个子节点, 分离其系数和非系数部分，并更新到上述 HashMap 中（类似于单词计数）。
• 最后遍历上述 HashMap，将每一组 系数 * 非系数部分 用一个新的累加节点连接起来，得到合并同类项后的结果。
  特殊系数的处理:
  • 系数为 0: 直接丢弃该项
  • 系数为 1: 直接保留 非系数部分 而无需添加多余的乘法。

乘幂折叠

乘幂折叠与合并同类项在操作上相近，只不过操作是在累乘节点上进行，将底数相同的因子合并，指数相加。

输出

最后是表达式树的输出，对每种节点实现 toString 方法，递归遍历输出即可。在输出时可以针对特殊系数（例如 0, 1, -1 等）以及 x**2 -> x*x 等特殊情形进行特判以减少输出长度。实现累加节点的 toString 方法（也就是输出若干项之和）时，如存在至少一个正系数的项，可将该正项最先输出从而少输出一个 - 号。

自定义函数

另外，今年的作业中新增了自定义函数，先输入函数定义然后需要把表达式中的函数调用展开。这里也提供一种基于上述表达式树的参考思路: