算法分析——算法的渐进效率分析

一、大O表示法

      一般用于界定函数集合的上界，渐进表达式O（g（n））的含义就是，c为正常数，函数集合O中的元素的最大值不会超过c.g(n)。f(n) = O(g(n))的含义是，函数f(n)的属于集合O（g(n)）,因为函数集合O中的最大值为c.g(n)，所以f(n)的最大值为c.g(n)。由于只是渐进的上界，所以当函数g（n）的阶数越小时，上界越紧确。

      下面来看下 算法导论 中是如何描述大O表示法的。

      当函数的大小只有上界，没有明确下界的时候，则可以使用大O表示法。f（n）= O（g（n））正式的数学定义：存在正常数c、n、n0，当n>n0的时，对于任意的f（n）对符合0<= f（n）<= c.g（n）。
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直观视觉图如下示：

                    

 

二、大Ω表示法

      一般用于界定函数集合的下界，渐进表达式Ω（g（n））的含义就是，函数集合Ω中的元素的最小值不会低于c.g(n)。f(n) = Ω（g（n））的含义是，函数f(n)的属于集合Ω（g（n））,因为函数集合Ω中的最小值为c.g(n)，所以f(n)的最小值为c.g(n)。

     算法导论 中是如何描述大Ω表示法的。     

     当函数的大小只有下界，没有明确的上界的时候，可以使用大Ω表示法。f（n）= Ω（g（n））正式的数学定义：存在正常数c、n、n0，当n>n0的时，对于任意的f（n）对符合0<= c.g（n）<= f（n）。

     直观视觉图如下所示：

 

 

 

三、大θ表示法

       用于界定函数的渐进上界和渐进下界。当f（n）= θ（g（n））的时候，代表着g（n）为f（n）的渐进紧确界。而θ渐进描述符在所有的渐进描述符中是最严格的一个，因为它既描述了函数的上界，有描述了函数的下界。

       算法导论 中是如何描述大θ表示法的。

       f（n）= θ（c.g（n））正式的数学定义：存在正常数c1、c2、n、n0，当n>n0的时，对于任意的f（n）对符合c1.g（n）<= f（n）<= c2.g（n），c1.g（n）、c2.g（n）都是渐进正函数（当n趋于无穷大的时候，f（n）为正）。  

        直观视觉图如下所示：              

 

 重要性质: 当且仅当函数f（n）= O（g（n））and f（n）=Ω（g（n））时，f（n）= θ（g（n））

 

4:题目

分析下表中左侧每行函数f(n)和每列函数g(n)之间的渐进效率关系，根据该关系属于f(n)ÎO(g(n)), f(n)ÎΩ(g(n)), f(n)ÎΘ(g(n))三种中的哪一种，在下方空白处填写合适的符号O，Ω或Θ。如果f(n)和g(n)之间有不止一种合适的渐进效率关系，仅填写最严格的那种关系。第一行已作为示范给出。（无需给出计算过程，每空1分）

 

 

			g(n)
			n		n2		2n
f(n)	n2	Ω		Θ		O
	nlogn4
	(1.1)n-10
	(n-2)!
	5n+7n-1

 

 

答案:

			g(n)
			n		n2		2n
f(n)	n2	Ω		Θ		O
	nlogn4	Ω		O		O
	(1.1)n-10	Θ		O		O
	(n-2)!	Ω		Ω		Ω
	5n+7n-1	Θ		O		O