概率公式总结

概率公式总结

我们定义形如\(F(x) (x\in[0,1])\)且\(F(1) = 1\)，\(F\)为递增函数的函数为概率函数。

其中\(F(x)\)的定义是当\(t\)小于\(x\)时的概率。

公式

$ \text{令}\mathrm T(x){为概率函数，}\mathrm G(x,y)\text{为在}y\text{限制为x时的概率（一个变量），那么} $

\(\mathrm F(x) = \int_0^x\mathrm T'(t)\mathrm G(x,t)\mathrm d t\text{为满足条件时的概率函数。}(x \in [0,1])\)

$ \text{假定} T(1) = 1.$

例一

解答

不妨令T\(_a(x)\)表示在a个点的情况下，角度小于x的概率。这里采用度数\(=2x\pi\) 的换算，也就是说，$ x \in [0,1] $。

显然，\(\mathrm{T}_a(1) = 1\)。

\(\mathrm{T}_2(x) = 2x[x \in [0,0.5]]\)

\(\mathrm{T}_3(x)\) = \(x\mathrm{T}_2(x) + \int_0^x \mathrm{T}'_2(t) (x-t) \mathrm d t (x \in [0,0.5])\)
= \(3x^2 (x \in [0,0.5])\)

\(\mathrm{T}_4(x)\) = \(x\mathrm{T}_3(x) + \int_0^x \mathrm{T}'_3(t) (x - t) \mathrm d t (x \in [0,0.5])\)
= \(4x^3 (x \in [0,0.5])\)

所以，\(\mathrm{T}_4(0.5) = 1/2\)。

Q. E. D.

Ex. 更特别地，观察$\mathrm{T}_2(x) = 2x,\mathrm{T}_3(x) = 3x^2,\mathrm{T}_0(x) = 4x^3 $, 容易猜想 \(\mathrm{T}_n(x) = nx^{n-1}\)

$\mathrm{T}_2(x) = 2x^{2-1}, $

\(\mathrm{T}_n(x) = x\mathrm{T}_{n-1}(x) + \int_0^x \mathrm{T}'_{n-1}(t) (x-t) \mathrm d t\)

\(\color{white}{\mathrm{T}_n(x)}\color{black} = (n-1)x^{n-1} + \int_0^x (n-1)(n-2)t^{n-3}(x-t) \mathrm d t\)

\(\color{white}{\mathrm{T}_n(x)}\color{black} = (n-1)x^{n-1} + (n-1)(n-2) \int_0^x xt^{n-3} -t^{n-2} \mathrm d t\)

$ \color{white}{\mathrm{T}_n(x)}\color{black}=n x ^{n-1}$

例二

​ 给出\(x_1,x_2 \in [0,1]\)的随机变量，求出\(\frac{x_1+x_2}{2} < p(p\in[0,0.5])\)的概率。

解答

\[\mathrm T(x) = x \\\mathrm G(x,y) = 2x - y \\\Rightarrow \mathrm F(x) = \int_0^{2x} \mathrm T'(t)\mathrm G(x,t) \mathrm d t \\ = \int_0^{2x} 2x - t \mathrm d t \\ = (2xt-1/2t^2)|_{t=2x} - (2xt-1/2t^2)|_{t=0} \\ = 2x^2 \]

显然这个算法可以推至 \(n\) 个随机变量的情况。

例三

​ 给出\(x_1,x_2 \in [0,1]\)的随机变量，求出\(x_1x_2 < p(p\in[0,1])\)的概率。

解答

\[\mathrm T(x) = x \\\mathrm G(x,y) = \min (x/y,1) \\\Rightarrow \mathrm F(x) = \int_0^{1} \mathrm T'(t)\mathrm G(x,t) \mathrm d t \\ = \int_x^{1} x/t \mathrm d t + \int_0^x1\mathrm d t\\ = (x\ln t)|_{t=1} - (x\ln t)|_{t=x} + x \\ = -x\ln x + x \]