新征程2.19 数据结构：图论之最短路径SPFA,Dijkstra

前言：

今天讲了SPFA和dij。咱们话不多说，直接进入正题。

floyed：ヽ(#`Д´)ﾉ，所以爱会消失，对吗？

du：(⊙o⊙)…，好吧。其实也讲了floyed，甚至还做了题。

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SPFA

SPFA 算法是单源最短路径里面限制最小的一个算法，只要图当中没有负环就可以用 SPFA 算法，一般的最短路问题里面都一定没有负环，如果是正权图建议用迪杰斯特拉算法，如果是负权图用 SPFA 算法。

基本思路就是更新过一个点，再拿这个点去更新其他点，一个点如果没有被更新过的话，那么它去更新其他点一定是没有效果的

每次把哪个点变小了，就把哪个点放到队列里面去，队列里面存储的就是待更新的点，存储方式可以选择用堆、队列. . .都可以，一般使用队列，SPFA 算法是由 Bellman-Ford 算法优化而来的，与迪杰斯特拉算法很像

SPFA 算法时间复杂度最坏是 O(nm)，一般是 O(m）。

code
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<queue>
using namespace std;
int n,m,s,tot;
const int N=10010,M=500010,inf=1e9;
int dis[N],in[N],head[N],to[M<<1],nt[M<<1],len[M<<1];
queue<int>q;
void add(int x,int y,int z){to[++tot]=y;len[tot]=z;nt[tot]=head[x];head[x]=tot;}
void SPFA(int S)
{
	for(int i=1;i<=n;++i)dis[i]=inf;
	dis[S]=0;q.push(S);in[S]=1;
	while(!q.empty())
	{
		int x=q.front();q.pop();in[x]=0;
		for(int i=head[x];i;i=nt[i])
			if(dis[to[i]]>dis[x]+len[i])
			{
				dis[to[i]]=dis[x]+len[i];
				if(!in[to[i]])q.push(to[i]),in[to[i]]=1;
			}
	}
}
int main()
{
	cin>>n>>m>>s;
	for(int i=1,u,v,w;i<=m;++i)
	{
		scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
		add(u,v,w);
	}
	SPFA(s);
	for(int i=1;i<=n;++i)printf("%d ",dis[i]==inf?2147483647:dis[i]);
	return 0;
} 

     只要还有人记得SPFA，它就永远不会死。

Dijkstra

Dijkstra算法是一个基于「贪心」、「广度优先搜索」、「动态规划」求一个图中一个点到其他所有点的最短路径的算法，常规迪杰斯特拉算法的时间复杂度 O (n^2) 。

Dijkstra算法主要特点是从起始点开始，采用贪心算法的策略，每次遍历到始点距离最近且未访问过的顶点的邻接节点，直到扩展到终点为止。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<queue>

using namespace std;
int n,m,s,tot;
const int M=200010,inf=1e9;
int dis[M],vis[M];
vector<int>to[M],len[M];
struct dian
{
	int hao,dis;
	friend bool operator<(const dian &a,const dian &b){return a.dis>b.dis;}
};
priority_queue<dian>q;
void DIJ(int S)
{
	for(int i=1;i<=n;++i)dis[i]=inf;
	dis[S]=0;q.push((dian){S,dis[S]});
	while (!q.empty())
	{
		int x=q.top().hao;q.pop();
		if(vis[x])continue;vis[x]=1;
		for(int i=0,siz=to[x].size();i<siz;++i)
		   if(dis[to[x][i]]>dis[x]+len[x][i])
		   {
		   	    dis[to[x][i]]=dis[x]+len[x][i];
		   q.push((dian){to[x][i],dis[to[x][i]]});
		   }
	}
}
int main()
{
	cin>>n>>m>>s;
	for(int i=1,u,v,w;i<=m;++i)scanf("%d%d%d",&u,&v,&w),to[u].push_back(v),len[u].push_back(w);
    DIJ(s);
    for(int i=1;i<=n;++i)printf("%d ",dis[i]);
    return 0;
}

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Floyed

这位更是重量级，拥有高达O(\(n^3\))时间复杂度。受到oier的广泛喜爱，五星上将麦克阿瑟曾经说过，假如我遇到了擅长使用Floyed的敌人，那么我将允许我的士兵当逃兵。因为我知道，会使用Floyed的敌人是无法被打败的。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int i,j,w,m,n,load[101][101];
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0); 
	cin>>n>>m;
	for(i=1;i<=n;i++)
	    for(j=1;j<=n;j++)
	        if(i!=j)load[i][j]=9999;
	        else load[i][j]=0;
	while(m--)
	{
		cin>>i>>j>>w;
		load[j][i]=load[i][j]=min(load[i][j],w);
	}
	for(w=1;w<=n;w++)
		for(i=1;i<=n;i++)	
		    for(j=1;j<=n;j++)
				load[i][j]=min(load[i][w]+load[w][j],load[i][j]);
	for(i=1;i<=n;i++)
	{	
		for(j=1;j<=n;j++)
			cout<<load[i][j]<<' ';
		cout<<endl;
	}
	return 0;
}