二次函数基本结论

结构1

已知抛物线 \(y = ax^2\)，直线 \(AB\) 经过点 \(M(0,t)\) 与抛物线交于点 \(A、B\) 两点，连接 \(AO\) ,过点 \(B\) 作 \(BC \parallel y\) 轴交直线 \(AO\) 于 \(C\), C点的纵坐标:
\(y_c=-t\)

证明：

设 \(l_{ab}:y=kx+t\);

将抛物线和直线联立：

\( \begin{cases} y=ax^2 \\ y=kx+t \end{cases} \)

有：\(ax^2-kx-t=0\)

根据韦达定理

\( \begin{cases} x_1x_2 = -\frac{t}{a} \\ x_1 + x_2 = \frac{k}{a} \end{cases} \)

设 \(A (m,am^2)\) ; \(l_{ao}: y=kx\) ;

有\(x_c = x_b = \frac{k-ma}{a} = -\frac{t}{am}\)

$am^2 = km $

\(k = \frac{am^2}{m} = am\)

\(l_{ao}: y = kx\)， \(x=-\frac{t}{am} \cdot am = t\)