单位根反演

参考文献

• https://zhuanlan.zhihu.com/p/604377422 （很好）
• https://www.luogu.com.cn/article/j0zigjbf
• https://blog.csdn.net/DT_Kang/article/details/79944113

单位根

单位根 \(w_n\) 就是方程 \(x^n-1=0\) 的一个解，它是复平面上从 \(w_n^0\) 出发逆时针第一个根。剩下的 \(n-1\) 个根是 \(w_n^2,w_n^3,\dots,w_n^n(1)\)。

这里上角标表示幂次。

公式

\[[i\mid k]=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}w_n^{ik} \]

证明暂略。分 \(i\mid k\) 和 \(i\nmid k\) 两种分类讨论即可。

用法

配合生成函数和二项式定理使用。

设有生成函数 \(f(x)\) 为 \(m\) 次多项式，其在 \(x^k\) 处的系数为 \(f_k\)，那么有：

\[\sum\limits_{k=0}^m[n\mid k]f_k=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=0}^{n-1}f(w_n^i) \]

题目

例题

已做完，自己看看题解吧。