杂项 tricks

分治

题目：模拟赛题

不知道怎么想到分治的。总之不断分治，每次讨论中间跨过界限的3个点（因为一次不可能跨过超过3个点，所以一定经过了3个点中的1个）。剩下的不会。

博弈论

二分图博弈

比如这道题。可以直接分析后 \(O(1)\) 做完。

一般来说：轮流取/移动某个东西，可能和二分图博弈有关。详情见这篇博客。

Nim 游戏

地上有若干堆石子，每堆都有 \(a_i\) 个。你和对手轮流取石子，每次可以从一堆中取任意多个，但不能跨堆取，也不能把石子取成负数。谁先取完最后一颗石子谁就赢了。

一个结论，如果 \(\mathrm{xor}_{i=1}^na_i=0\) 那么必输，否则必赢。

证明见知乎。

二分答案

常见转化

一、答案可行性具有单调性的。
二、确定了某个数值后，可以快速判断答案可行性的。
三、复杂度需要 \(\log\) 级别的。

整体二分

一种类似 cdq 的算法，见博客“整体二分”。

分数规划

摘自OI-wiki。

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分数规划用来求一个分式的极值。

形象一点就是，给出 \(a_i\) 和 \(b_i\)，求一组 \(w_i\in\{0,1\}\) ，最小化或最大化 \(\displaystyle\frac{\sum\limits_{i=1}^na_i\times w_i}{\sum\limits_{i=1}^nb_i\times w_i}\) 。

另外一种描述：每种物品有两个权值 a 和 b，选出若干个物品使得 \(\displaystyle\frac{\sum a}{\sum b}\) 最小/最大。

一般分数规划问题还会有一些奇怪的限制，比如『分母至少为 \(W\) 』。

二分法

分数规划问题的通用方法是二分。

假设我们要求最大值。二分一个答案 \(mid\) ，然后推式子（为了方便少写了上下界）：

\[$ \displaystyle \begin{aligned} &\frac{\sum a_i\times w_i}{\sum b_i\times w_i}>mid\\ \Longrightarrow&\sum a_i\times w_i-mid\times \sum b_i\cdot w_i>0\\ \Longrightarrow&\sum w_i\times(a_i-mid\times b_i)>0 \end{aligned} $\]

那么只要求出不等号左边的式子的最大值就行了。如果最大值比 \(0\) 要大，说明 \(mid\) 是可行的，否则不可行。

求最小值的方法和求最大值的方法类似，读者不妨尝试着自己推一下。

Dinkelbach 算法

看不懂捏

Dinkelbach 算法的大概思想是每次用上一轮的答案当做新的 \(L\) 来输入，不断地迭代，直至答案收敛。

摩尔投票

一种求绝对众数的技巧，可用线段树维护。见博客。

字符串算法的运用

Trie

批量按位贪心

给定多个串的集合 \(A\)，多次询问串 \(b\) 与 \(A\) 中一个数按位异或的最大值，可以把 \(A\) 建成 trie，然后把 \(b\) 放在 \(A\) 上贪心。

进一步的，允许在线插入数字，因此可以求一个序列中任选两个数异或的最大值。

数列数对xor求lowbit

给定数列，求数列中所有数对异或起来的lowbit之和。

建立 Trie，求 LCA 即可。