【学习笔记】技巧-状态压缩

【学习笔记】技巧-状态压缩

第一篇学习笔记

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前置知识：位运算

（位运算一定记得加括号）！！！

基本知识

意义

使用二进制数的每一位（0/1）代表一个元素的状态（是/否）
譬如：\((1001)_2\) 代表第1、4个元素为True
一般可以用于表示元素是否已经选了、或者是否开关

特征

由于类型大小限制，压缩的元素数目不能多于20个左右
因此最显著的特征为：数据范围中一个维度很小，只有不到20

lowbit：返回二进制最低位的1所代表的值

ll lowbit(ll x)
{
    return x&-x;
}

遍历一个状态的所有子集

for(ll temp=state;;temp=state&(temp-1))
{
    //实体代码
    if(!temp)
        break;
}

奇技淫巧

• << 和 >> 完成位移，& 和 | 判断障碍物（P2704 [NOI2001] 炮兵阵地）

主要题型

	1. 状压dp
	2. 容斥
	3. 前缀和

状压dp

分为 计数型（不可重） 和 最值型（可重）

两种写法：

• 人人为我：其他状态来更新我（正常dp比较常用，但是有可能TLE）
• 我为人人：我更新其他状态（复杂度应该好一点）

计数型（不可重）

最大的难点在于去重。

如果是分组问题，可能出现同一种分组情况被不同的最后一组更新。（例如 \(\{1,2\} \{3,4\}\) 被 \(\{1,2\}\) 和 \(\{3,4\}\) 重复计算了两次）一个可行的方法是：转移时，只允许用包含大状态lowbit的那一组转移，由于lowbit只有一个，所以相同的分组方案只会转移一次。
例如：仅当(cur&state)==cur且(cur&lowbit(state))!=0时，dp[state]+=dp[state^cur]（cur表示当前组，state表示总状态）

最值型（可重）

不用去重，简单不少。

值得注意的是，最值问题有时候也会出错。
如果当前状态和转移来源的编号（或者其他信息）有关，就不能只写dp[state]，而是要写dp[state][i]，比如 P1433 吃奶酪

这是我dp没学好

容斥

状态压缩的非常规应用。有些时候非常有用

遍历 \(2^n-1\) 也就是 \((111...1)_2\) 的所有子集，如果 \(popcount(temp)\%2==1\) 那么 ans+=当前状态和 ，否则ans-=当前状态和

这个方法可以快捷地完成容斥。

前缀和

• 人人为我：枚举每个状态的子集，加到自己上（比较慢，容易TLE）
• 我为人人：如果自己不为0，枚举包含自己的集合，将自己加到它（比较快）

END