CF666 刷题记录

序

日期：2024/11/8

内容：CF666（Div. 1）

tag：未在洛谷提交

A

tag：字符串；dp；水题

题意

给定一个字符串，可以把它分解为“词根”和“词后缀”。要求词根长度严格大于 \(4\) ，词缀长度为 \(2\) 或 \(3\) ，相邻的词缀不能相同。求在所有的分解方案中后缀的可能性。

（呜呜呜看错题了写了两个小时）

\(1\le n \le 10^5\)

解法

令 \(dp_{i,0/1}\) 表示第 \(i\) 个位置开始长度为 \(2/3\) 的后缀是否可行。直接做就做完了。

B

tag：图论；最短路；暴力

题意

给定一个有向图，边权为 \(1\) 。选择四个不同的点 \(a,b,c,d\) ，价值 \(w=dis(a,b)+dis(b,c)+dis(c,d)\) （ \(dis(x,y)\) 表示从 \(x\) 到 \(y\) 点的最短路长度，要求最短路存在）。要你给出这四个点的编号，使得加值最大。

\(1\le n\le3000\)

解法

非常暴力，先从每个点开始跑一遍 bfs 算出点之间的距离，然后算出别的到每个点的前三长距离，和每个点到别的点的前三长距离。然后枚举 \(b,c\) ，就可以用预处理出的东西做了。具体而言，\(a\) 选择不是 \(c\) 的离 \(b\) 最远的点，\(d\) 选择不是 \(b\) 的离 \(c\) 最远的点，如果 \(a\) 和 \(d\) 选择了同一个点，就酌情让某方退一步。

C

tag：组合数；dp

题意

求长度为n的，包含s作为子串的由小写字母构成的字符串的数量。

\(1\le n\le 10^5\)

解法

如果组合数暴力枚举所有情况会导致aa这种（在a? ?a中）被计算多次。考虑 \(dp_{i,j}\) 表示字符串前i位匹配到了s中的前j位。转移式为：\(dp_{i,j}=dp_{i-1,j}\times 25+dp_{i-1,j-1}\) 。

这个式子不会算重复，因为这个位置上取 \(s_j\) 的情况（一倍的 \(dp_{i-1,j}\) ）被在 \(dp_{i-1,j-1}\) 中算过了，因此从 \(dp_{i-1,j}\times 26\) 中减去。可以理解为，把每个可能算重的连续一段的字母只在第一个位置转移，其余位置当作不是这个字母，就不会算重复。

当然这个式子可以优化。我们发现这个式子和s的具体内容无关，事实上，我们可以用这个式子实现去重。不难发现运用之前的思路可以得出 \(ans=\sum_{i=m}^{n}\binom{n}{i}25^{i-m}26^{n-i}\) 。和之前的思路一样，这个式子枚举s串最后一个字符匹配了哪个位置，然后统计次数时，不允许每个位置与下一个 \(s_i\) 相同，这样就只在每个重复段开头统计了，没有重复。（数学证明我不会，或需要用二项式反演）

最后记忆化可以优化到 \(O(\sqrt{n})\)。