朋友的礼物(英雄会,csdn,高校俱乐部)信封问题,匹配模型
前言: 首先这是一题解,但是重点最代码之后,有耐心的可以直接从代码后看。
上题目:n个人,每个人都有一件礼物想送给他人,他们决定把礼物混在一起,然后每个人随机拿走一件,问恰好有m个人拿到的礼物恰好是自己的概率是多少? 输出结果四舍五入,保留8位小数,为了保证精度,我们用字符串作为返回类型。 输入:n,m (0<n<100, 0<=m<=n) 例如: n = 2,m = 1,输出:0.00000000; n = 99,m = 0,输出:0.36787944
上代码:
*******************************************************************************/ /* OS : 3.2.0-58-generic #88-Ubuntu SMP Tue Dec 3 UTC 2013 GNU/Linux * Compiler : g++ (GCC) 4.6.3 (Ubuntu/Linaro 4.6.3-1ubuntu5) * Encoding : UTF8 * Date : * All Rights Reserved by yaolong. *****************************************************************************/ /* Description: *************************************************************** *****************************************************************************/ /* Analysis: ****************************************************************** *****************************************************************************/ /*****************************************************************************/ //* #include <stdio.h> #include <iostream> #include <string> using namespace std; double jcf(int r){ //计算 1/r! ; double res=1; for(int i=1;i<=r;i++){ res*=i; } return 1/res; } class Test { public: static string calculate (int n,int m) { double r_=jcf(m); double res=0; for(int i=0;i<=n-m;i++){ if(i%2==1) res-=jcf(i); else{ res+=jcf(i); } } res=res*r_; string tmp; res=res*100000000; int tot=(int)(res+0.5); int k=8; while(k--){ tmp.insert(0,1,tot%10+'0'); tot/=10; } tmp.insert(0,1,'.'); tmp.insert(0,1,'0'); return tmp; } }; //start 提示:自动阅卷起始唯一标识,请勿删除或增加。 int main() { cout<< Test::calculate(36,3)<<endl; cout<< Test::calculate(12,6); cout<<endl; cout<<Test::calculate(99,0)<<endl; } //end //提示:自动阅卷结束唯一标识,请勿删除或增加。
本文将以此题引出并解释一下这种匹配问题。
比如 N个信封N封信,k个匹配正确的概率,方法等等。
还有各种变还说法,比如本题的 N个人N份礼物,k个正确的概率。
还有一堆新郎和新娘,k个人选对自己的新娘的组合数等的功能。
这种问题,都源于信封匹配啦。当然这种博文多的是,我也只是在前人的基础上去理解以及解释。
1.先看错位排列的问题。即k=0的情况。
m个朋友,0个人拿对自己的礼物。
我们假设编号从1 到 m,从1号开始拿礼物,这时候1号有m-1个选择,
假设 1号拿到k号的礼物,
1.k如果拿到1的礼物,那么问题就归结到m-2个人的问题,
2.如果k没有拿到1的礼物,则k可以看做是1(因为k不拿1的礼物),问题归结到m-1的问题。
即得到递推式子: A_m = (m-1)*(A_m-1 + A_m-2)用习惯的数列表示就是
A_n = (n-1)*(A_n-1 + A_n-2);
显然A_1 =0 ,A_2 =1(一个人的时候为0,二个人的时候是1.)
解这种数列的通向公式方法不算少,最基本的一个解法就是用高中的数列手段啦。
A_n -n* A_n-1 = - [ A_n-1 - (n-1) * A_n-2 ]
即有
[ A_n - n* A_n-1 ]/[ A_n-1 - (n-1) * A_n-2 ]=-1;
记B_n=[A_n- n* A_n-1 ,累乘一下,B_n=(-1)^(n-2) * B_2=(-1)^n (n>=2);
即有
A_n- n*A_n-1 = (-1)^n;
A_n / (-1)^n = - n * A_n-1 /(-1)^(n-1) +1;
记C_n= A_n / (-1)^n ,即解C_n = - n* C_n-1 +1;
求解这个数列,也是高中的数列方法了,C_n= f(n) *C_n-1 +C;
构造h(n),使得f(n)=h(n-1)/h(n) ,之后转换成 h(n)*C_n = h(n-1)*C_n-1 +C*h(n) ,累加求解就可以了。
对于n显然构造的是 h(n)=1/n!;(为什么?我能说是经验吗?)
之后,这个累加过程我就不写了,最后给出华丽丽的公式:
A_n= n!*[1-1/1!+1/2!-1/3!+1/4!-…+(-1)^n*1/n!]
而全排列是n! ,所以概率则为 P(n)=A_n/n! =1-1/1!+1/2!-1/3!+1/4!-…+(-1)^n*1/n!
2.m个人拿对(m!=0)的时候
有了上一步的支持,这个就异常的简单,则C(n,m)*A_n-m 即可
即 F(n,m) = C(n,m)*(n-m)!*[1-1/1!+1/2!-1/3!+1/4!-…+(-1)^(n-m)*1/(n-m)!]
P(n,m) = F(n,m)/n!=(1/m! )*[1-1/1!+1/2!-1/3!+1/4!-…+(-1)^(n-m)*1/(n-m)!]
3.对应 英雄会的朋友的礼物,就是套用2的公式,so easy(之前我也看过其他博文写的这题,但是文字太多,看得有点烦。)