dp方程

1. 资源问题1 -----机器分配问题 F[I,j]:=max(f[i-1,k]+w[i,j-k])

2. 资源问题2 ------01背包问题 F[I,j]:=max(f[i-1,j-v]+w,f[i-1,j]);

3. 线性动态规划1 -----朴素最长非降子序列 F:=max{f[j]+1}

4. 剖分问题1 -----石子合并 F[i,j]:=min(f[i,k]+f[k+1,j]+sum[i,j]);

5. 剖分问题2 -----多边形剖分 F[I,j]:=min(f[i,k]+f[k,j]+a[k]*a[j]*a);

6. 剖分问题3 ------乘积最大 f[i,j]:=max(f[k,j-1]*mult[k,i]);

7. 资源问题3 -----系统可靠性(完全背包) F[i,j]:=max{f[i-1,j-c*k]*P[I,x]}

8. 贪心的动态规划1 -----快餐问题 F[i,j,k]:=max{f[i-1,j',k']+(T-(j-j')*p1-(k-k')*p2) div p3}

9. 贪心的动态规划2 -----过河 f=min{{f(i-k)} (not stone) {f(i-k)}+1} (stone); +贪心压缩状态

10. 剖分问题4 -----多边形-讨论的动态规划 F[i,j]:=max{正正 f[I,k]*f[k+1,j]; 负负 g[I,k]*f[k+1,j]; 正负 g[I,k]*f[k+1,j]; 负正 f[I,k]*g[k+1,j];} g为min

11. 树型动态规划1 -----加分二叉树 (从两侧到根结点模型) F[I,j]:=max{f[I,k-1]*f[k+1,j]+c[k]}

12. 树型动态规划2 -----选课 (多叉树转二叉树,自顶向下模型) F[I,j]表示以i为根节点选j门功课得到的最大学分 f[i,j]:=max{f[t.l,k]+f[t.r,j-k-1]+c}

13. 计数问题1 -----砝码称重 f[f[0]+1]=f[j]+k*w[j]; (1<=i<=n; 1<=j<=f[0]; 1<=k<=a;)

14. 递推天地1 ------核电站问题 f[-1]:=1; f[0]:=1;
f:=2*f[i-1]-f[i-1-m]

15. 递推天地2 ------数的划分 f[i,j]:=f[i-j,j]+f[i-1,j-1];

16. 最大子矩阵1 -----一最大01子矩阵 f[i,j]:=min(f[i-1,j],v[i,j-1],v[i-1,j-1])+1;
ans:=maxvalue(f);

17. 判定性问题1 -----能否被4整除 g[1,0]:=true; g[1,1]:=false; g[1,2]:=false; g[1,3]:=false; g[i,j]:=g[i-1,k] and ((k+a[i,p]) mod 4 = j)

18. 判定性问题2 -----能否被k整除 f[I,j±n mod k]:=f[i-1,j]; -k<=j<=k; 1<=i<=n

20. 线型动态规划2 -----方块消除游戏 f[i,i-1,0]:=0 f[i,j,k]:=max{f[i,j-1,0]+sqr(len(j)+k), f[i,p,k+len[j]]+f[p+1,j-1,0]} ans:=f[1,m,0]

21. 线型动态规划3 -----最长公共子串，LCS问题 f[i,j]={0(i=0)&(j=0); f[i-1,j-1]+1 (i>0,j>0,x=y[j]); max{f[i,j-1]+f[i-1,j]}} (i>0,j>0,x<>y[j]);

22. 最大子矩阵2 -----最大带权01子矩阵O(n^2*m) 枚举行的起始，压缩进数列，求最大字段和，遇0则清零

23. 资源问题4 -----装箱问题(判定性01背包) f[j]:=(f[j] or f[j-v]);

24. 数字三角形1 -----朴素の数字三角形 f[i,j]:=max(f[i+1,j]+a[I,j],f[i+1,j+1]+a[i,j]);

25. 数字三角形2 -----晴天小猪历险记之Hill 同一阶段上暴力动态规划 if[i,j]:=min(f[i,j-1],f[I,j+1],f[i-1,j],f[i-1,j-1])+a[i,j]

26. 双向动态规划1 数字三角形3 -----小胖办证 f[i,j]:=max(f[i-1,j]+a[i,j],f[i,j-1]+a[i,j],f[i,j+1]+a[i,j])

27. 数字三角形4 -----过河卒 //边界初始化 f[i,j]:=f[i-1,j]+f[i,j-1];

28. 数字三角形5 -----朴素的打砖块 f[i,j,k]:=max(f[i-1,j-k,p]+sum[i,k],f[i,j,k]);

29. 数字三角形6 -----优化的打砖块 f[I,j,k]:=max{g[i-1,j-k,k-1]+sum[I,k]}

30. 线性动态规划3 -----打鼹鼠’ f:=f[j]+1;(abs(x-x[j])+abs(y-y[j])<=t-t[j])

31. 树形动态规划3 -----贪吃的九头龙

32. 状态压缩动态规划1 -----炮兵阵地 Max(f[Q*(r+1)+k],g[j]+num[k]) If (map and plan[k]=0) and ((plan[P] or plan[q]) and plan[k]=0)

33. 递推天地3 -----情书抄写员 f:=f[i-1]+k*f[i-2]

34. 递推天地4 -----错位排列 f:=(i-1)(f[i-2]+f[i-1]); f[n]:=n*f[n-1]+(-1)^(n-2);

35. 递推天地5 -----直线分平面最大区域数 f[n]:=f[n-1]+n :=n*(n+1) div 2 + 1;

36. 递推天地6 -----折线分平面最大区域数 f[n]:=(n-1)(2*n-1)+2*n;

37. 递推天地7 -----封闭曲线分平面最大区域数 f[n]:=f[n-1]+2*(n-1) :=sqr(n)-n+2; 38 递推天地8 -----凸多边形分三角形方法数 f[n]:=C(2*n-2,n-1) div n; 对于k边形 f[k]:=C(2*k-4,k-2) div (k-1); //(k>=3)

39 递推天地9 -----Catalan数列一般形式 1,1,2,5,14,42,132 f[n]:=C(2k,k) div (k+1);

40 递推天地10 -----彩灯布置排列组合中的环形染色问题 f[n]:=f[n-1]*(m-2)+f[n-2]*(m-1); (f[1]:=m; f[2]:=m(m-1);

41 线性动态规划4 -----找数线性扫描 sum:=f+g[j]; (if sum=Aim then getout; if sum<Aim then inc(i) else inc(j);) 42 线性动态规划5 -----隐形的翅膀 min:=min{abs(w/w[j]-gold)}; if w/w[j]<gold then inc(i) else inc(j);

43 剖分问题5 -----最大奖励 f:=max(f,f[j]+(sum[j]-sum)*i-t

44 最短路1 -----Floyd f[i,j]:=max(f[i,j],f[i,k]+f[k,j]); ans[q[i,j,k]]:=ans[q[i,j,k]]+s[i,q[i,j,k]]*s[q[i,j,k],j]/s[i,j]; 45 剖分问题6 -----小H的小屋 F[l,m,n]:=f[l-x,m-1,n-k]+S(x,k);

46 计数问题2 -----陨石的秘密（排列组合中的计数问题） Ans[l1,l2,l3,D]:=f[l1+1,l2,l3,D+1]-f[l1+1,l2,l3,D]; F[l1,l2,l3,D]:=Sigma(f[o,p,q,d-1]*f[l1-o,l2-p,l3-q,d]);

47 线性动态规划 ------合唱队形两次F:=max{f[j]+1}＋枚举中央结点

48 资源问题 ------明明的预算方案：加花的动态规划 f[i,j]:=max(f[i,j],f[l,j-v-v[fb]-v[fa]]+v*p+v[fb]*p[fb]+v[fa]*p[fa]);

49 资源问题 -----化工场装箱员

50 树形动态规划 -----聚会的快乐 f[i,2]:=max(f[i,0],f[i,1]); f[i,1]:=sigma(f[t^.son,0]); f[i,0]:=sigma(f[t^.son,3]);

51 树形动态规划 -----皇宫看守 f[i,2]:=max(f[i,0],f[i,1]); f[i,1]:=sigma(f[t^.son,0]); f[i,0]:=sigma(f[t^.son,3]);

52 递推天地 -----盒子与球 f[i,1]:=1; f[i,j]:=j*(f[i-1,j-1]+f[i-1,j]);

53 双重动态规划 -----有限的基因序列 f:=min{f[j]+1} g[c,i,j]:=(g[a,i,j] and g[b,i,j]) or (g[c,i,j])

54 最大子矩阵问题 -----居住空间 f[i,j,k]:=min(min(min(f[i-1,j,k],f[i,j-1,k]), min(f[i,j,k-1],f[i-1,j-1,k])), min(min(f[i-1,j,k-1],f[i,j-1,k-1]), f[i-1,j-1,k-1]))+1; 55 线性动态规划 ------日程安排 f:=max{f[j]}+P[I]; (e[j]<s)

56 递推天地 ------组合数 C[I,j]:=C[i-1,j]+C[I-1,j-1] C[I,0]:=1

57 树形动态规划 -----有向树k中值问题 F[I,r,k]:=max{max{f[l,I,j]+f[r,I,k-j-1]},f[f[l,r,j]+f[r,r,k-j]+w[I,r]]}

58 树形动态规划 -----CTSC 2001选课 F[I,j]:=w(if i∈P)+f[l,k]+f[r,m-k](0≤k≤m)(if l<>0)

59 线性动态规划 -----多重历史 f[i,j]:=sigma{f[i-k,j-1]}(if checked)

60 背包问题(+-1背包问题+回溯) -----CEOI1998 Substract f[i,j]:=f[i-1,j-a] or f[i-1,j+a]

61 线性动态规划(字符串) -----NOI 2000 古城之谜 f[i,1,1]:=min{f[i+length(s),2,1], f[i+length(s),1,1]+1}f[i,1,2]:=min{f[i+length(s),1,2]+words[s],f[i+length(s),1,2]+words[s]}

62 线性动态规划 -----最少单词个数 f[i,j]:=max{f[I,j],f[u-1,j-1]+l}

63 线型动态规划 -----APIO2007 数据备份状态压缩＋剪掉每个阶段j前j*2个状态和j*2+200后的状态贪心动态规划 f:=min(g[i-2]+s,f[i-1]); 64 树形动态规划 -----APIO2007 风铃 f:=f[l]+f[r]+{1 (if c[l]<c[r])} g:=1(d[l]<>d[r]) 0(d[l]=d[r]) g[l]=g[r]=1 then Halt;

65 地图动态规划 -----NOI 2005 adv19910 F[t,i,j]:=max{f[t-1,i-dx[d[[t]],j-dy[d[k]]]+1],f[t-1,i,j];

66 地图动态规划 -----优化的NOI 2005 adv19910 F[k,i,j]:=max{f[k-1,i,p]+1} j-b[k]<=p<=j;

67 目标动态规划 -----CEOI98 subtra F[I,j]:=f[I-1,j+a] or f[i-1,j-a]

68 目标动态规划 ----- Vijos 1037搭建双塔问题 F[value,delta]:=g[value+a,delta+a] or g[value,delta-a]

69 树形动态规划 -----有线电视网 f[i,p]:=max(f[i,p],f[i,p-q]+f[j,q]-map[i,j]) leaves>=p>=l, 1<=q<=p;

70 地图动态规划 -----vijos某题 F[I,j]:=min(f[i-1,j-1],f[I,j-1],f[i-1,j]);

71 最大子矩阵问题 -----最大字段和问题 f:=max(f[i-1]+b,b); f[1]:=b[1]

72 最大子矩阵问题 -----最大子立方体问题枚举一组边i的起始，压缩进矩阵 B[I,j]+=a[x,I,j] 枚举另外一组边的其实，做最大子矩阵

73 括号序列 -----线型动态规划 f[I,j]:=min(f[I,j],f[i+1,j-1](ss[j]=”()”or(”[]”)), f[I+1,j+1]+1 (s[j]=”(”or”[” ] , f[I,j-1]+1(s[j]=”)”or”]” )

74 棋盘切割 -----线型动态规划 f[k,x1,y1,x2,y2]=min{min{f[k-1,x1,y1,a,y2]+s[a+1,y1,x2,y2], f[k-1,a+1,y1,x2,y2]+s[x1,y1,a,y2] min{}}

75 概率动态规划 -----聪聪和可可(NOI2005) x:=p[p[i,j],j] f[I,j]:=(f[x,b[j,k]]+f[x,j])/(l[j]+1)+1 f[I,i]=0 f[x,j]=1

76 概率动态规划 -----血缘关系 F[A, B]=(f[A0, B]+P[A1, B])/2 f[I,i]=1 f[I,j]=0(I,j无相同基因)

77 线性动态规划 -----决斗 F[I,j]=(f[I,j] and f[k,j]) and (e[I,k] or e[j,k]),i<k<j

78 线性动态规划 -----舞蹈家 F[x,y,k]=min(f[a[k],y,k+1]+w[x,a[k]],f[x,a[k],k+1]+w[y,a[k]])

79 线性动态规划 -----积木游戏 F[I,a,b,k]=max(f[I,a+1,b,k],f[i+1,a+1,a+1,k’],f[I,a+1,a+1,k’])

80 树形动态规划（双次记录） -----NOI2003 逃学的小孩朴素的话枚举节点i和离其最远的两个节点 j,k O(n^2) 每个节点记录最大的两个值，并记录这最大值分别是从哪个相邻节点传过来的。当遍历到某个孩子节点的时候，只需检查最大值是否是从该孩子节点传递来的。如果是，就取次大，否则取最大值

81 树形动态规划(完全二叉树) -----NOI2006 网络收费 F[I,j,k]表示在点i所管辖的所有用户中，有j个用户为A，在I的每个祖先u上，如果N[a]>N则标0否则标1，用二进制状态压缩进k中，在这种情况下的最小花费 F[I,j,k]:=min{f[l,u,k and (s<<(i-1))]+w1,f[r,j-u,k and(s<<(i-1))]}

82 树形动态规划 -----IOI2005 河流 F:=max

83 记忆化搜索 -----Vijos某题,忘了 F[pre,h,m]:=sigma{SDP(I,h+1,M+i)} (pre<=i<=M＋1)

84 状态压缩动态规划 -----APIO 2007 动物园 f[I,k]:=f[i-1,k and not (1<<4)] + NewAddVal

85 树形动态规划 -----访问术馆 f[i,j-c×2]:= max ( f[l,k], f[r,j-c×2-k] )

86 字符串动态规划 -----Ural 1002 Phone if exist(copy(s,j,i-j)) then f:=min(f,f[j]+1);

87 多进程动态规划 -----CEOI 2005 service Min( f[i,j,k], f[i-1,j,k] + c[t[i-1],t] ) Min( f[i,t[i-1],k], f[i-1,j,k] + c[j,t] ) Min( f[i,j,t[i-1]], f[i-1,j,k] + c[k,t] )

88 多进程动态规划 -----Vijos1143 三取方格数 max(f[i,j,k,l],f[i-1,j-R[m,1],k-R[m,2],l-R[m,3]]); if (j=k) and (k=l) then inc(f[i,j,k,l],a[j,i-j]) else if (j=k) then inc(f[i,j,k,l],a[j,i-j]+a[l,i-l]) else if (k=l) then inc(f[i,j,k,l],a[j,i-j]+a[k,i-k]) else if (j=l) then inc(f[i,j,k,l],a[j,i-j]+a[k,i-k]) else inc(f[i,j,k,l],a[j,i-j]+a[k,i-k]+a[l,i-l]);

89 线型动态规划 -----IOI 2000 邮局问题 f[i,j]:=min(f[I,j],f[k,j-1]+d[k+1,i]);

90 线型动态规划 -----Vijos 1198 最佳课题选择 if j-k>=0 then Min(f[i,j],f[i-1,j-k]+time(i,k)); 91 背包问题 ----- USACO Raucous Rockers 多个背包，不可以重复放物品，但放物品的顺序有限制。 F[I,j,k]表示决策到第i个物品、第j个背包，此背包花费了k的空间。 f[I,j,k]:=max(f[I-1,j,k],f[I-1,j,k-t]+p,f[i-1,j-1,maxtime-t])

92 多进程动态规划 -----巡游加拿大（IOI95、USACO） d[i,j]=max{d[k,j]+1(a[k,i] & j<k<i),d[j,k]+1(a[I,j] & (k<j))}。

f[i,j]表示从起点出发，一个人到达i，另一个人到达j时经过的城市数。d[i,j]=d[j,i]，所以我们限制i>j 分析状态(i,j)，它可能是(k,j)(j<k<i)中k到达i得到（方式1），也可能是(j,k)(k<j)中k超过j到达i得到（方式2）。但它不能是(i,k)(k<j)中k到达j得到，因为这样可能会出现重复路径。即使不会出现重复路径，那么它由(j,k)通过方式2同样可以得到，所以不会遗漏解时间复杂度O(n3)

93 动态规划 -----ZOJ cheese f[i,j]:=f[i-kk*zl[u,1],j-kk*zl[u,2]]+a[i-kk*zl[u,1],j-kk*zl[u,2]]

94 动态规划 -----NOI 2004 berry 线性 F[I,1]:=s F[I,j]:=max{min{s-s[l-1]},f[l-1,j-1]} (2≤j≤k, j≤l≤i)

95 动态规划 -----NOI 2004 berry 完全无向图 F[I,j]:=f[i-1,j] or (j≥w) and (f[i-1,j-w])

96 动态规划 -----石子合并四边形不等式优化 m[i,j]=max{m[i+1,j], m[i,j-1]}+t[i,j]

97 动态规划 -----CEOI 2005 service （k≥long，i≥1）g[i, j, k]=max{g[i-1,j,k-long]+1，g[i-1,j,k]} （k<long，i≥1） g[i, j, k]=max{g[i-1,j-1,t-long]+1，g[i-1,j,k]} (0≤j≤m， 0≤k<t) g[0,j,k]=0; ans:=g[n,m,0]。

状态优化：g[i, j]=min{g[i-1,j]，g[i-1,j-1]+long} 其中(a, b)+long=(a’, b’)的计算方法为：当b+long ≤t时： a’=a; b’=b+long; 当b+long ＞t时： a’=a+1; b’=long; 规划的边界条件：当0≤i≤n时，g[i,0]=(0,0)

98 动态规划 -----AHOI 2006宝库通道 f[k]:=max{f[k-1]+x[k,j]-x[k,i-1], x[k,j]-x[k,i-1]}

99 动态规划 -----Travel A) 费用最少的旅行计划。设f表示从起点到第i个旅店住宿一天的最小费用；g表示从起点到第i个旅店住宿一天，在满足最小费用的前提下所需要的最少天数。那么： f=f[x]+v, g=g[x]+1 x满足： 1、 x<i，且d – d[x] <= 800（一天的最大行程）。 2、对于所有的t < i, d – d[t] <= 800，都必须满足： A. g[x] < g[t](f[x] = f[t]时) B. f[x] < f[t] (其他情况) f[0] = 0，g[0] = 0。 Ans:=f[n + 1]，g[n+1]。

B). 天数最少的旅行计划。方法其实和第一问十分类似。设g’表示从起点到第i个旅店住宿一天的最少天数；f’表示从起点到第i个旅店住宿一天，在满足最小天数前提下所需要的最少费用。那么： g’ = g’[x] + 1, f’ = f’[x] + v x满足： 1、 x<i，且d – d[x] <= 800（一天的最大行程）。 2、对于所有的t < i, d – d[t] <= 800，都必须满足： f’[x] < f’[t] g’[x] = g’[t]时 g’[x] < g’[t] 其他情况 f’[0] = 0，g’[0] = 0。 Ans:=f’[n + 1]，g’[n+1]。

100 动态规划 -----NOI 2007 cash y:=f[j]/(a[j]*c[j]+b[j]); g:=c[j]*y*a+y*b; f:=max(f,g)