ABC407 EF 题解

ABC407 EF 题解

唉，烂完了。

E. Most Valuable Parentheses

最优化问题，先考虑贪心和 dp。

直接做没有思路，从括号序列的性质着手。注意到合法括号序列等价于满足下述条件的序列：

• 任意长度为 \(i\) 的前缀中都有至少 \(\lceil \frac{i}{2} \rceil\) 个 (。
• ( 和 ) 的数量相同。

由于 \(\lceil \frac{i}{2} \rceil\) 只在 \(i\) 是奇数时 \(+1\)，所以我们在 \(i\) 为奇数时更新答案，也就是从 \([1, i]\) 中任选一个没选过的位置变为 (。显然这样构造出的括号序列一定是合法的，并且每次贪心取权值最大的最优。用优先队列维护。

代码

F. Sums of Sliding Window Maximum

这道题的套路非常典。（但我怎么不会？）

我们需要求出 \(k = 1, 2, \cdots, n\) 的答案，考虑用某种方式同时更新整个答案序列。

用单调栈求出 \(a_i\) 能作为最大值的极长区间 \([l_i, r_i]\)（\(l_i \le i \le r_i\)）。由于可能有相同的元素，而我们希望每个区间只被统计一次，所以做如下规定：

• \([i, r_i]\) 中可以有和 \(a_i\) 相同的元素。
• \([l_i, i]\) 中不可以有和 \(a_i\) 相同的元素，即 \(a_i\) 是此区间中的严格最大值。

可以发现这样规定确实不重不漏地统计了所有区间。

然后考虑每个 \(a_i\) 对答案序列的贡献。对某个区间 \([x, y]\)，如果 \(l_i \le x \le i \le y \le r_i\)，那么 \(a_i\) 就是 \([x, y]\) 中的最大值。把这些区间分长度讨论，设区间长度为 \(j\)，统计有多少个长度为 \(j\) 的区间的最大值为 \(a_i\)。具体地，设 \(x_{\min}\) 和 \(x_{\max}\) 分别为 \(i - l_i + 1\) 和 \(r_i - i + 1\) 中的较小值和较大值，\(len = r_i - l_i + 1\)，则

1. 若 \(1 \le j < x_{\min}\)，则 \(ans_{j} \gets ans_{j} + j \cdot a_{i}\)；
2. 若 \(x_{\min} \le j < x_{\max}\)，则 \(ans_{j} \gets ans_{j} + x_{\min} \cdot a_{i}\)；
3. 若 \(x_{\max} \le j \le len + 1\)，则 \(ans_{j} \gets (len - j + 1) \cdot a_{i}\)；
4. 其它情况对 \(ans\) 无贡献。

以上几种情况画个图不难理解。

\(a_{i}\) 对 \(ans\) 的贡献可以写成如下序列（为了方便，忽略了所有的 \(a_i\) 因子，只保留系数，同时 \(ans\) 从 \(0\) 开始标号）：

\[0, {\color{red}{1, 2, \cdots, x_{\min} - 1,}} {\color{green}{x_{\min}, x_{\min}, \cdots, x_{\min},}} {\color{blue}{x_{\min} - 1, \cdots, 1, 0,}} 0 \]

这相当于把答案序列加上了三个等差数列（中间的序列公差为 \(0\)）。线段树可以维护等差数列，但我们不需要动态查询，因此有更简单的办法：把上面的序列差分一遍，得到

\[0, {\color{red}{1, 1, \cdots, 1,}} {\color{green}{1, 0, \cdots, 0,}} {\color{blue}{-1, \cdots, -1, -1,}} 0 \]

再差分一遍：

\[0, {\color{red}{1, 0, \cdots, 0,}} {\color{green}{0, -1, \cdots, 0,}} {\color{blue}{1, \cdots, 0, 0,}} -1 \]

于是在二阶差分序列上只用修改 \(O(1)\) 个值。最后把二阶差分序列做两遍前缀和就得到了答案。时间复杂度 \(O(n)\)。

代码