ABC400 FG 做题记录

ABC400 FG 做题记录

F. Happy Birthday! 3

先断环成链。

可以发现两次操作如果相交，则一定真包含。（否则对于两个操作中的第一个，删去相交的部分，花费变少但效果不变。）这种“相交包含”的性质是可以区间 dp 的。

设 \(f(l, r)\) 表示 \([l, r]\) 区间的最小花费。转移枚举中间点，要考虑到颜色相同的情况，随便搞搞。

G. Patisserie ABC 3

把蛋糕两两配对是不好处理的。我们把原问题称为问题 \(A\)，把它转化为：

• 每个蛋糕有三种属性。每个蛋糕要么选择恰好一种属性，要么不选择。我们要选择总共 \(2K\) 个属性，满足每种属性选择的个数都是偶数，在此基础上最大化选择的属性的和。（问题 \(B\)）

这样就规避了“配对”的问题。

严谨起见，我们要证明这两个问题是等价的。也就是说，我们要证明问题 \(A\) 的最优解必须在问题 \(B\) 中出现，且它在问题 \(B\) 中也是最优解。简单来说，\(A\) 的一个解唯一对应 \(B\) 的一个解，但 \(B\) 的解可能不是 \(A\) 的解，因为两两配对时没有取到 \(\max\)。换句话说 \(B\) 的解集是 \(A\) 的解集的超集，包含了一些无用的解。但这些无用的解一定不是最优的，所以当我们只考虑求出最优解时，两个问题是等价的。

容易设计出 \(O(NK)\) 的 dp：设 \(f(i, j, x, y)\)（\(x, y \in \{0, 1\}\)）表示在前 \(i\) 个蛋糕中选择 \(j\) 个属性，且选择 \(X, Y\) 属性的个数的奇偶性分别为 \(x, y\) 时，属性值的最大和。（不用记录 \(z\) 的奇偶性，因为可以从 \(j, x, y\) 推出）转移是显然的。

考虑优化。可以发现奇偶性的限制是比较松的。如果没有这个限制，那么我们把蛋糕按 \(\max(X, Y, Z)\) 从大到小排序以后贪心地选择前 \(2K\) 个就是最优的。加上这个限制以后，我们期望只进行一些微调就能得到合法的答案。实际上可以证明：前 \(2K\) 个蛋糕中最多有 \(2\) 个不选。证明如下：

对于一种属性，如果在前 \(2K\) 个蛋糕中没有选择，而在后面选择了，那么把后面的替换成

有了这个结论以后，就可以在两部分中分别 dp 然后合并答案。由于“选了几个”这一维度的长度被压缩至 \(3\)，所以 dp 的时间复杂度为 \(O(N)\)。总时间复杂度为 \(O(N \log N)\)，瓶颈在排序。代码