ABC401F Add One Edge 3 题解

ABC401F Add One Edge 3 题解

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并不是很难的题，但赛时写的太麻烦了（4k，写了一个多小时），重新梳理一遍。

加上新的边 \((i, j)\) 之后，树的直径要么跨越 \((i, j)\)，要么在原来的两棵树中。设 \(d_1\)，\(d_2\) 分别表示两棵树的直径，\(f_1(u)\) 和 \(f_2(u)\) 分别表示两棵树中离 \(u\) 最远的点到 \(u\) 的距离，则加入新边后直径的长度为

\[\max(d_1, d_2, f_1(i) + 1 + f_2(j)) \]

求出直径和 \(f\) 数组后，考虑枚举第一棵树中的点 \(i\) 统计答案。把 \(f_2\) 排序，我们只需找到一个分界点 \(x\)，当 \(j \ge x\) 时直径跨越两棵树，否则直径在原来的树中。二分以后求 \(f_2\) 的一段区间和，用前缀和优化。

现在来看看怎么求出 \(f\) 数组。我们有如下结论：在边权全为正的情况下，对树上的一点 \(u\)，离它最远的点必然是直径的一端。这个结论在用 bfs/dfs 求直径时会用到，这里我们反着来使用它：求出直径的两端 \((s, t)\) 后，比较 \(\operatorname{dis}(s, u)\) 和 \(\operatorname{dis}(t, u)\)，较大者即为 \(f(u)\)。按理说这是一个很基础的结论，求直径的时候也会用到，但赛时我鬼使神差地忘了，所以最好还是重新证一下：

设树的直径为 \((s, t)\)。离 \(u\) 最远的点为 \(v\)，且 \(v\) 到 \(u\) 的距离严格大于 \(s\) 和 \(t\) 到 \(u\) 的距离。反证法，假设 \(v\) 不是直径的一端，分三种情况讨论：

1. \(u\) 在 \(s \rightsquigarrow t\) 上：

   由于 \(\operatorname{dis}(u, v) > \operatorname{dis}(u, t)\)，所以把 \(s \rightsquigarrow t\) 路径中的 \(u \rightsquigarrow t\) 替换成 \(u \rightsquigarrow v\)，得到的 \(s \rightsquigarrow v\) 的距离比直径长，矛盾。

2. \(u\) 不在 \(s \rightsquigarrow t\) 上，且 \(s \rightsquigarrow t\) 与 \(u \rightsquigarrow v\) 有重合的点：

   设 \(x\) 是两条路径上第一个重合的点。根据假设，有 \(\operatorname{dis}(x, v) > \operatorname{dis}(x, t)\)，所以 \(\operatorname{dis}(s, v) > \operatorname{dis}(s, t)\)，矛盾。

3. \(u\) 不在 \(s \rightsquigarrow t\) 上，且 \(s \rightsquigarrow t\) 与 \(u \rightsquigarrow v\) 没有重合的点：

   考虑 \(u \rightsquigarrow t\) 这条路径，设这条路径与 \(u \rightsquigarrow v\) 最后一个重合的点为 \(x\)，与 \(s \rightsquigarrow t\) 第一个重合的点为 \(y\)。那么 \(\operatorname{dis}(x, v) > \operatorname{dis}(x, t)\)，因此 \(\operatorname{dis}(x, v) > \operatorname{dis}(y, t)\)，进而 \(\operatorname{dis}(y, v) > \operatorname{dis}(y, t)\)（这都是建立在边权为正的基础上），最终可以推出 \(\operatorname{dis}(s, v) > \operatorname{dis}(s, t)\)，矛盾。

   （注：图中的一条边代表一条路径）

有了这个结论之后，就可以在求直径的时候同时求出 \(f\)。代码（参考了 jiangly 的写法）

但即使不知道这个结论，也可以求出 \(f\) 数组。这是我赛时的写法，比较难写，仅供参考：

换根 dp。设 \(g(u)\) 表示 \(u\) 子树的高度，dp 求出。设 \(r\) 为根节点，则 \(g(r) = f(r)\)。然后换根。由于转移方程涉及到 \(\max\)，而 \(\max\) 不可逆，所以换根时不能简单地”减去“贡献，而枚举所有子节点重新求一遍，时间复杂度会退化成 \(O(n^2)\)。解决方法也很简单：预处理子节点高度的最大值、次大值和最大值数量，分类讨论删去的子节点是不是最大值即可。我的代码用了 multiset，时间复杂度多了一个 \(\log\)，但其实没有必要。代码