牛客小白月赛 113F 最小差值 题解

牛客小白月赛 113F 最小差值 题解

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应该比较典，虽然我没做出来。

处理绝对值相关问题的套路是把绝对值拆开，也就是把 \(|x - y|\) 确定为 \(x - y\) 或 \(y - x\)，否则我们不知道这个式子的真实值，没法进一步处理。

假设只有一个数组 \(a\)，把数组中的元素视作数轴上的点，则这些点把数轴划分成了 \(O(n)\) 个区间：\((-\infty, a_{1}), [a_{1}, a_{2}), \cdots, [a_{n}, +\infty)\)。对同一个区间中的点 \(k\)，\(|a_{i} - k|\) 的被拆开的形式相同。严谨地说，设 \(|a_i - k| = s_i \cdot (a_i - k)\)，\(s_i \in \{1, -1\}\)，则 \(s_i\) 在同一个区间中为定值。对于两个区间的情况，也可以这样处理：把两个数组中的元素视作数轴上的点，则数轴被划分为 \(O(n + m)\) 个区间。我们分别计算每个区间的答案，然后取最小值。

设对于区间 \([L, R]\) 中的点 \(k\)，\(a\) 中有 \(c_1\) 个元素小于等于 \(k\)，\(c_2\) 个元素大于 \(k\)；\(b\) 中有 \(c_3\) 个元素小于等于 \(k\)，\(c_4\) 个元素大于 \(k\)。记 \(f(k) = \left|\left(\sum\limits_{i = 1}^{n} |a_i - k|\right) - \left(\sum\limits_{i = 1}^{n} |b_i - k|\right) \right|\)，\(\operatorname{prea}, \operatorname{sufa}, \operatorname{preb}, \operatorname{sufb}\) 分别为 \(a, b\) 的前/后缀和数组。则第一个和式的贡献为 \((c_1 \cdot k - \operatorname{prea}(c_1)) + (\operatorname{sufa}(c_2) - c_2 \cdot k)\)，第二个和式的贡献为 \((c_3 \cdot k - \operatorname{preb}(c_3)) + (\operatorname{sufb}(c_4) - c_4 \cdot k)\)。因此

\[f(k) = |(c_1 + c_4 - c_2 - c_3)\cdot k + (\operatorname{sufa}(c_2) - \operatorname{sufb}(c_4) - \operatorname{prea}(c_1) + \operatorname{preb}(c_3))| \]

记 \(p = c_1 + c_4 - c_2 - c_3\)，\(q = \operatorname{sufa}(c_2) - \operatorname{sufb}(c_4) - \operatorname{prea}(c_1) + \operatorname{preb}(c_3)\)，则 \(f(k) = |p \cdot k + q|\)，绝对值中是一个一次函数。绝对值最小处只可能在 \(L, R\) 和最靠近 \(0\) 的位置取到。函数的零点为 \(-q / p\)，由于 \(k\) 必须是整数，为了避免误差，直接计算零点下取整及其周围两个点即可。

时间复杂度 \(O(n \log n)\)（视 \(n, m\) 同级），瓶颈在排序。AC 记录