排序不等式及其证明

设 \(x_1 \le x_2 \le \cdots \le x_n\) 和 \(y_1 \le y_2 \le \cdots \le y_n\) 是两组实数，\(\sigma\) 是任意一个长度为 \(n\) 的排列，那么排序不等式表明：

\[\sum_{i = 1}^{n}x_{i}y_{n-i+1} \le \sum_{i=1}^{n}x_{\sigma(i)}y_i \le \sum_{i = 1}^{n} x_{i}y_{i} \]

即逆序和不大于乱序和，乱序和不大于顺序和。特别地，如果 \(\{x\}\) 和 \(\{y\}\) 都严格递增，则 \(\le\) 可以改为 \(<\)。

证明

先证明顺序和最大。假设存在某个非恒等排列 \(\sigma\)，使得 \(\sum_{i = 1}^{n} x_{\sigma(i)}y_i > \sum_{i = 1}^{n} x_{i}y_{i}\)。由于 \(\sigma\) 不是恒等排列，所以存在某个逆序对 \((i, j)\) 使得 \(i < j \and \sigma(i) > \sigma(j)\)。

交换 \(x_{\sigma(i)}\) 和 \(x_{\sigma(j)}\)，此时乘积和的变化为：

\[\Delta = (x_{\sigma(i)}y_{j} + x_{\sigma(j)}y_{i}) - (x_{\sigma(i)}y_{i} + x_{\sigma(j)}y_{j}) = (y_{i} - y_{j})(x_{\sigma(j)} - x_{\sigma(i)}) \]

由于 \(y_i \le y_j\) 且 \(x_{\sigma(j)} \le x_{\sigma(i)}\)，所以 \(\Delta \ge 0\)。若等号都不成立，则 \(\Delta > 0\)。

用同样的方法，可以证明逆序和最小。

总结：对于类似的排列问题，可以用调整法证明。

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