[LOJ 6030]「雅礼集训 2017 Day1」矩阵 题解

首先不难想到一个贪心,就是先填出一个全黑的行,然后再用其填黑列。

而且在其中“填出一个全黑的行步数”我们应该最小化。

这个贪心的正确性证明如下:

必要性:填黑列的必要条件为有一个全黑的行。

充分性:“填黑列的步数”就是“非全黑列的数量”。

显然,如果填出一个全黑的行的过程中有列变成了全黑,那么这个行也是全黑,这与全黑行不存在矛盾。

进一步地,无论如何去生成一个全黑的行,“全黑列的数量”始终不改变,因此“填黑列的步数”不改变。

因此最小化答案就是最小化“填出一个全黑的行步数”。

综上所述,我们的贪心策略是最优的。

我们也可以扩展结论:

无解的情况当且仅当不存在黑点。

否则,这个黑点一定可以填出一个全黑行,策略是先覆盖其他所有列,再覆盖自身。

那么如何最小化“填出一个全黑的行步数”呢?我们发现关键所在是白点,我们可以进行操作填黑它。

我们设对应的操作为 \((x,y)\),白点为 \((a,y)\),则 \((x,a)\) 为黑。

  • 若存在 \((x,a)\) 为黑,则只需要一步。

  • 否则,我们先进行一个操作染黑 \((x,a)\),设操作为 \((b,a)\),则黑点为 \((b,x)\),此时,\((b,x)\)已经可以是任意黑点,而且我们只需要操作一次就可以染黑需要的\((x,a)\),所以是最优的。

到此,贪心就没有问题了。

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
const LL N=3005;
const LL inf=1e18;
LL n,a[N],b[N],cnt,mn=inf,hav[N],sum;
char c[N];
int main()
{
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%s",c+1);//数据有误,请务必这样读入
		for(int j=1;j<=n;j++)
		{		
			if(c[j]=='#')a[i]++,b[j]++,sum++;
		}
	}
	if(sum==0)
	{
		puts("-1");
		return 0;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		mn=min(mn,n-a[i]+(b[i]==0));
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(b[i]!=n)cnt++;
	}
	cout<<mn+cnt<<endl;
	return 0;
}
posted @ 2023-07-03 20:44  DengDuck  阅读(6)  评论(0编辑  收藏  举报