浅谈一类反悔贪心的问题

种树

在长度为 \(n\) 的数列中选择至少 \(k\) 个数字,他们都有价值,使得没有相邻的数字被取到,且数字之和最大。

求这个最大的数字之和。

我们考虑一个反悔贪心,首先用一个链表来维护数列,然后,每次贪心的选择最大的数字,并标记左右不可用。

但是这个贪心显然是错的,我们再直接将这三个数字合并为一个,价值为 \(a_L+a_R-a_i\),意思大家应该懂。

显然这个数字,选择它相当于改选 \(a_i\) 两边的数字,这就是我们的反悔了。

再加上一个大根堆维护即可。

需要注意的是,其实这里我们选择的数字不一定是答案方案中的数字,而是我们不断启用反悔机制,不断算上增量,得到最终答案。

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
priority_queue<pair<LL,LL> >p;
const LL N=1e6;
LL n,k,a[N],L[N],R[N],len,vis[N],ans;
int main()
{
	scanf("%lld%lld",&n,&k);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%lld",&a[i]);
		p.push({a[i],i});
		L[i]=i-1,R[i]=i+1;
	} 
	len=n+1;
	for(int i=1;i<=k;i++)
	{
		while(!p.empty()&&vis[p.top().second]==1)p.pop();//无法选的
		if(p.empty()||p.top().first<0)break;//无法选或者选只能变小
		LL t=p.top().second,v=p.top().first;
		ans+=v;
		p.pop();
		LL l=L[t],r=R[t];
		vis[t]=1,vis[l]=1,vis[r]=1;//标记
		a[++len]=a[r]+a[l]-a[t];
		L[len]=L[l],R[len]=R[r],R[L[l]]=len,L[R[r]]=len;//合并处理
		p.push({a[len],len});
	}
	printf("%lld",ans);
} 

种树 2

在长度为 \(n\) 的环中选择至少 \(k\) 个数字,他们都有价值,使得没有相邻的数字被取到,且数字之和最大。

求这个最大的数字之和。

其实当你思考上一个问题的时候,你就会觉得这个链表很有意思,是时候展示链表的含金量了。

我们利用链表的特性,将数组首尾相连即可。

我们只需要添加以下代码:

L[1]=n,R[n]=1;

种树 3

在长度为 \(n\) 的环中强制选择 \(k\) 个数字,他们都有价值,使得没有相邻的数字被取到,且数字之和最大。

求这个最大的数字之和。

如果无解输出 Error!

依然是一个变化不大的题,首先,如何判断无解,根据限定条件,易得:

if(n<2*k)
{
	puts("Error!");
	return 0; 
}

添加至输入后即可。

注意到源代码中有这样一行:

if(p.empty()||p.top().first<0)break;//无法选或者选只能变小

无解已经判定了,这道题强制选择 \(k\) 个,所以删去即可。

核心代码如下:

for(int i=1;i<=k;i++)
{
    while(!p.empty()&&vis[p.top().second]==1)p.pop();
    LL t=p.top().second,v=p.top().first;
    ans+=v;
    p.pop();
    LL l=L[t],r=R[t];
    vis[t]=1,vis[l]=1,vis[r]=1;
    a[++len]=a[r]+a[l]-a[t];
    L[len]=L[l],R[len]=R[r],R[L[l]]=len,L[R[r]]=len;
    p.push({a[len],len});
}

Guard Duty

给定\(n\)个时间点。每个区间都以某两个时间点为左右端点,且每个区间的代价定义为端点的时间之差。

你要选择 \(k\) 个连续的区间,保证这个 \(k\) 个连续的区间没有交集,且代价总和最小。

直觉告诉我们应该从大到小排一个序,然后选相邻的数字,这样代价最小,且这一点显然,在此不证明。

我们用差分处理出相邻的数字形成区间的价值,然后我们发现这里相邻的区间占有相同的点,不可同时选择,也就是相邻的区间不可选择。

那这个反悔贪心就很显然了。

注意这里是最小值,所以你需要搞一个小根堆,而且左右边界要附一个较大的值。

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define T pair<LL,LL>
using namespace std;
priority_queue<T,vector<T>,greater<T> >p;
const LL N=1e6;
LL n,k,a[N],L[N],R[N],len,vis[N],ans;
int main()
{
	scanf("%lld%lld",&k,&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%lld",&a[i]);
	}
	sort(a+1,a+n+1);
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		a[i]=a[i+1]-a[i]; 
		p.push({a[i],i});
		L[i]=i-1,R[i]=i+1;
	} 
	a[0]=a[n]=1e18;
	len=n;
	for(int i=1;i<=k;i++)
	{
		while(!p.empty()&&vis[p.top().second]==1)p.pop();
		LL t=p.top().second,v=p.top().first;
		ans+=v;
		p.pop();
		LL l=L[t],r=R[t];
		vis[t]=1,vis[l]=1,vis[r]=1;
		a[++len]=a[r]+a[l]-a[t];
		L[len]=L[l],R[len]=R[r],R[L[l]]=len,L[R[r]]=len;
		p.push({a[len],len});
	}
	printf("%lld",ans);
} 
posted @ 2023-05-09 14:11  DengDuck  阅读(18)  评论(0编辑  收藏  举报