Lucas定理——定义、证明、实现、运用

什么是Lucas定理

这是一个有助于分解组合数来求解的定理,适合模数小,数字大的问题。

有质数 \(p\),对于\(n,m\),如果\(n=k_1p+b_1,m=k_2p+b_2\),有

\[C_n^m\equiv C_{k_1}^{k_2}C_{b_1}^{b_2} \pmod p \]

由此可以分解成较小的问题求解。

证明Lucas定理

这个证明利用了二项式定理的思路,前所未闻,真的很有趣。

根据二项式定理可以得到 \((1+x)^n\)\(x^m\)的系数为\(C_n^m\)

我们用这一点作为突破口,对于\((1+x)^n\),我们有

\[(1+x)^n\equiv (1+x)^{k_1p+b_1}\equiv (1+x)^{k_1p}(1+x)^{b_1}\equiv ((1+x)^p)^{k_1}(1+x)^{b_1}\pmod p \]

然后有一个很有意思的东西

\[(1+x)^p\equiv 1+x^p \pmod p \]

为什么呢?将式子拆开后,显然除了第一项与最后一项,其他项是\(p\)的倍数,自然就会抹掉了。

继续进行推导,我们有

\[(1+x)^n\equiv(1+x^p)^{k_1}(1+x)^{b_1}\pmod p \]

于是右边的式子拆开可以得到

\[(\sum_{i=0}^{k_1} C_{k_1}^i x^{pi})(\sum_{j=0}^{b_1} C_{b_1}^j x^{j})\pmod p \]

我们要求\(x^m\)的系数,也就是\(x^{k_2p+b_2}\)的系数。

由于\(b_1<p\),所以\(k_2p\)只能让\(\sum_{i=0}^{k_1} C_{k_1}^i x^{pi}\)负责了,当\(i=k_2\)时符合条件,此时系数为\(C_{k_1}^{k_2}\)

剩下部分由\(\sum_{j=0}^{b_1} C_{b_1}^j x^{j}\)负责,当\(j=b_2\)时符合条件,此时系数为\(C_{b_1}^{b_2}\)

因此 \(x^m\)的系数为\(C_{k_1}^{k_2}C_{b_1}^{b_2}\),前文已知根据二项式定理\(x^m\)的系数为\(C_n^m\),我们得到

\[C_n^m\equiv C_{k_1}^{k_2}C_{b_1}^{b_2} \pmod p \]

由此,完成了Lucas定理的证明。

Lucas定理求解组合数的C++实现

代码上没什么难点,首先基础的组合数求解还是要有的,也就是我们需要预处理阶乘逆元,然后使用Lucas将组合数拆开再用基础的组合数求解即可。

long long ksm(long long x,long long y)
{
    long long sum=1;
    while(y)
    {
        if(y&1)
        {
            sum*=x;
            sum%=mod;
        }
        x*=x;
        x%=mod;
        y>>=1;
    }
    return sum;
}
long long C(long long n,long long m)
{
    if(m>n)return 0;
    if(m==0||n==m)return 1;
    return fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}
long long lucas(long long n,long long m)
{
    if(m>n)return 0;
    if(n<mod)return C(n,m);
    return lucas(n/mod,m/mod)*lucas(n%mod,m%mod)%mod;
}
void init()
{    
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<=mod-1;i++)
    {
        fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
    }
    inv[mod-1]=ksm(fac[mod-1],mod-2);
    for(int i=mod-2;i>=0;i--)
    {
        inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;
    }
}
posted @ 2023-04-25 18:07  DengDuck  阅读(65)  评论(0编辑  收藏  举报