信号采样

采样

考虑模拟正弦信号：

$$x_a(t)=A\cos (2\pi Ft+\theta )$$

以$F_s=1/T$的采样率采样，有：

$$x(n)\triangleq x_a(nT)=A\cos (2\pi FnT+\theta )=A\cos (\frac{2\pi nF}{F_s}+\theta )$$

而

$$x(n)=A\cos (2\pi fn+\theta )$$

比较可得：

$$f=\frac{F}{F_s}$$

因此称$f$为相对频率或归一化频率。

由$-\frac{1}{2}\le f\le \frac{1}{2}$，得

$$-\frac{F_s}{2}\le F\le \frac{F_s}{2}$$

如果连续时间信号的频率相差$F_s$的整数倍，那么采样得到的离散时间信号是一样的，因此从离散信号得到的连续时间信号的频率具有模糊性。

$\frac{F_s}{2}$称为folding frequency或Nyquist frequency。

采样得到的离散信号的频谱与连续信号频谱的关系：

$$X_d(\mathrm{\Omega })=\frac{1}{T}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{X}_c(\frac{\mathrm{\Omega }}{T}-\frac{2\pi k}{T})$$