数字信号处理

离散时间的频谱是周期函数，由此得出结论：时域的采样等效于频域的周期延拓。

zero-order hold：$t_{n-1},t_n$之间的信号值保持不变，取为$f(t_{n-1})$。

first-order hold：$t_{n-1},t_n$之间的信号值为线性，由端点值$f(t_{n-1}),f(t_n)$确定。

离散信号与系统

正弦信号

$$x(n)=A\cos (\omega n+\theta )=A\cos (2\pi fn+\theta )$$

性质：

• 是周期信号当且仅当$f$是有理数。表示为$f=\frac{k}{N}$，若$k,N$互素，则$N$是最小正周期。因此，和连续信号不同，离散信号的频率的微小变化可引起周期的大变化。如：

$$\begin{array}{rl}& f_1=31/60N_1=60\\ & f_2=30/60N_2=2\end{array}$$

• 频率相差$2\pi$整数倍的是相同信号，即：
  
  $$A\cos (\omega n+\theta )=A\cos ((w+2k\pi )n+\theta )$$
  
  因此可以将频率限制为$-\pi \le \omega \le \pi$。而连续信号$-\mathrm{\infty }<\mathrm{\Omega }<\mathrm{\infty }$.
• $\omega =\pi$时信号振荡频率是最高的。

复指数信号集：$N$是如下每个信号的周期。令$\omega =\frac{2\pi }{N}$

$${\varphi }_k[n]=e^{jk\omega n},k=0,\pm 1,\pm 2,\dots$$

这个集合只有$N$个元素，因为$k\omega$与$(k+rN)\omega$相差$2\pi$的整数倍，由以上性质2它们是相同信号。

周期信号的傅里叶级数表示

令$x[n]$的最小正周期为$N$，$\omega =\frac{2\pi }{N}$。

想用复指数信号集来表示$x[n]$，即：

$$x[n]=\sum _k{a}_k{\varphi }_k[n]$$

由于${\varphi }_k[n]$只在$N$个连续的$k$中是不同的，因此求和只需包含$N$个连续的$k$，用$k=⟨N⟩$表示：

$$x[n]=\sum _{k=⟨N⟩}{a}_k{\varphi }_k[n]$$

由如下关系：

$$\sum _{n=⟨N⟩}{e}^{jk\omega n}=\{\begin{array}{ll}N,& k=0,\pm N,\pm 2N,\dots \\ 0,& \text{否则}\end{array}$$

可得：

$$a_k=\frac{1}{N}\sum _{n=⟨N⟩}x[n]e^{-jk\omega n}$$

离散傅里叶变换(DFT)

DFT和上面本质上是一样的，这里从另一个角度来讲。

$N$维向量的内积：

$$⟨u,v⟩\triangleq \sum _{n=0}^{N-1}u(n)v^{\ast }(n)$$

$\mathbf{y}$在$\mathbf{x}$上的投影：

$${\mathbf{P}}_x(y)=\frac{⟨\mathbf{y},\mathbf{x}⟩}{\Vert \mathbf{x}{\Vert }^2}\mathbf{x}$$

$\mathbf{x}$前的系数称为投影系数。

$\{{\varphi }_k\},k=0,\dots ,N-1$是${\mathbb{C}}^N$的一组正交基，即

$$⟨{\varphi }_k,{\varphi }_l⟩\triangleq \sum _{n=0}^{N-1}{\varphi }_k[n]{\varphi }_l^{\ast }[n]=N{\delta }_{kl}$$

$$X_k\triangleq ⟨x,{\varphi }_k⟩=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]e^{-jk\omega n}$$

$$x=\sum _k{\mathbf{P}}_{{\varphi }_k}(x)=\sum _k\frac{⟨x,{\varphi }_k⟩}{\Vert {\varphi }_k{\Vert }^2}{\varphi }_k=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}{X}_k{\varphi }_k$$

离散时间傅里叶变换（DTFT）

令周期$N$趋向无穷大，推导出离散时间傅里叶变换：

$$\begin{array}{rl}x[n]& =\frac{1}{2\pi }{\int }_{2\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega n}d\omega \\ X(e^{j\omega })& =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x[n]e^{-j\omega n}\end{array}$$

其中积分在任意长度为$2\pi$的区间进行。

$X(e^{j\omega })$称为$x[n]$的频谱，易见它的周期是$2\pi$。

周期信号

$$e^{j{\omega }_{0}n}⟷\sum _{l=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}2\pi \delta (\omega -{\omega }_0-2\pi l)$$

周期为$N$的信号：

$$x[n]=\sum _{k=⟨N⟩}{a}_k{e}^{jk(2\pi /N)n}$$

的傅里叶变换为：

$$X(e^{j\omega })=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}2\pi a_k\delta (\omega -\frac{2\pi k}{N})$$

这里用到了$a_k$的周期为$N$的性质。

z变换

定义：

$$X(z)\triangleq \sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x[n]z^{-n}$$

$z=r{e}^{j\omega }$，那么

$$X(r{e}^{j\omega })=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x[n](r{e}^{j\omega }{)}^{-n}=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\{x[n]r^{-n}\}{e}^{-j\omega n}=\mathcal{F}\{x[n]r^{-n}\}$$

即$x[n]$的z变换是$x[n]r^{-n}$的DTFT。

使得$X(z)$收敛的$z$值范围称为收敛域（ROC）。由于

$$\begin{array}{rl}|X(z)|& =|\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x[n]r^{-n}{e}^{-j\omega n}|\\ & \le \sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}|x[n]r^{-n}{e}^{-j\omega n}|\\ & =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}|x[n]r^{-n}|\end{array}$$

因此如果序列$x[n]r^{-n}$绝对可和，那么$X(z)<\mathrm{\infty }$。但反过来并不成立，例如$x[n]=(-1{)}^n/n$。有时收敛域是用这个条件确定的。

注意，只能通过级数收敛条件确定收敛域，不能通过$X(z)$的表达式确定。

例子：
$x_1[n]=a^{n}u[n],x_2[n]=-a^{n}u[-n-1]$的z变换都是$X(z)=\frac{z}{z-a}$，但前者收敛域为$|z|>|a|$，后者为$|z|<|a|$.

逆变换

$$x[n]={\mathcal{Z}}^{-1}\{X(z)\}=\frac{1}{2\pi j}{\oint }_{C}X(z)z^{n-1}dz$$

其中$C$是在收敛域中的包含原点的逆时针封闭曲线。

可以通过傅里叶逆变换推导出来按$C$是以原点为中心的圆来计算，然后利用复变函数性质得到$C$可以是任意封闭曲线？

不通过围道积分，可通过有理分式展开以及幂级数展开求逆变换。

性质

用于LTI系统

响应由卷积和表示

$$\begin{array}{}\text{(1)}& y[n]=x[n]\ast h[n]\triangleq \sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x[k]h[n-k]\end{array}$$

其中$h[n]$为单位冲激响应。

对$\text{(1)}$两边取z变换，由卷积性质，得：

$$Y(z)=X(z)H(z)$$

其中

$$H(z)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}h[n]z^{-n}$$

为系统函数，是冲激响应的z变换。

$|z|=1$时，$z=e^{j\omega }$，

$$H(e^{j\omega })=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}h[n]e^{-j\omega n}$$

称为系统的频率响应。

如果$h[n]$为实数，那么易见$H(e^{-j\omega })=H^{\ast }(e^{j\omega })$，因此幅频响应为（$\omega$的）偶函数，相频响应为奇函数。

若输入序列为$x[n]=z^n$，那么：

$$y[n]=x[n]\ast h[n]=H(z)z^n$$

因此$z^n$是特征函数。

因果性

和连续系统一样，因果系统要求满足：

$$h[n]=0,n<0$$

将$n<0$时为零的信号称为因果信号。

可以通过$H(z)$的收敛域来判断系统是否因果。

稳定性

要求极点在单位圆内。

单边z变换

$$X(z)\triangleq \sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}x[n]z^{-n}$$

其收敛域总位于某个圆（极点最大模值的圆？）的外边。