算法第2章实践报告

一、实践题目名称

二分法求函数的零点

 

二、问题描述

有函数：f(x)=x^5-15x^4+85x^3−225x^2+274x−121,已知f(1.5)>0,f(2.4)<0 且方程f(x)=0 在区间[1.5,2.4] 有且只有一个根，请用二分法求出该根。 提示：判断函数是否为0，使用表达式 fabs(f(x)) < 1e-7

 

三、算法描述

本题我们采用二分法递归求解。

由题意可得：f(x)在区间[1.5,2.4]上单调递减。首先，我们取start=

1.5，end=2.4，mid=(start+end)/2，判断f(mid)的取值情况，临界情况是：fabs(f(mid))<1e-7,直接找到根，返回mid；若f(mid)>0,则下一个求根区间变为[mid，end]，若f(mid)<0,则下一个求根区间变为[start,mid]。不断重复以上操作，不断进行二分操作，直到递归结束，最后用setprecision(6)<<std::fixed保留小数点后6位输出mid。

 

四、算法时间及空间复杂度分析

(1)时间复杂度

本题我们用二分法将一个大规模问题n分解为两个小的子规模，子规模变为n/2，由于只需要处理其中一个子规模问题，所以该算法时间复杂度为T(n/2)=O(log n)由于最后不需要进行合并子问题，所以我们只需要考虑一开始的函数输入，时间复杂度为O(1)。

合并起来时间复杂度为O(log n)+O(1)=O(log n)

(2)空间复杂度

在整个二分搜索的过程中，只需要额外存储三个变量：start ，end 和 mid，所以空间复杂度是O(1)

 

五、心得体会

(1)本次实践收获

进一步加深了对二分法求解问题的理解，以后面对大规模的问题是可以根据实际情况使用该方法解决，降低时间复杂度。

(2)疑惑

在递归过程中，不写return会超时，但是好像可以运行，有点不理解为什么会这样，感觉是一定要写return的。

 

六、分治法的个人体会和思考

分治法适用于将大规模的子问题分解成若干个小规模子问题，并且小规模子问题更容易求解、若干个小规模子问题之间互相独立、和大规模问题的性质是一样的，分治法分为三个步骤：

分解：将原问题分解成一系列子问题。

解决：递归地解各个子问题。

合并：将子问题的结果合并成原问题的解。