1.4 微分算子法
二阶常系数线性非齐次方程的算子解法要比以往的待定系数法求解特解更加快捷高效, 有计算量小且运用灵活的优点.
定义1.2 记
\[D=\frac{{\rm d}}{{\rm d}x},D^2=\frac{{\rm d}^2}{{\rm d}x^2},D^n=\frac{{\rm d}^n}{{\rm d}x^n}
\]
其中 \(D^n\) 称为 \(n\) 阶微分算子.于是 \(n\) 阶常系数非齐次线性微分方程
\[y^{n}+a_{1} y^{n-1}+\cdots \cdots+a_{n-1} y^{\prime}+a_{n} y=f(x) \tag{1.4}
\]
可以记为 \(L(D)y=f(x)\).
其中 \(L(D)\) 是方程(1.4)相对应的算子多项式
\[L(D)=D^{n}+a_{1} D^{n-1}+\cdots \cdots+a_{n-1} D+a_{n}
\]
所以求解方程(1.4)的特解形式,可以转化为算子方程的解的问题,即
\[y(x)=\frac{1}{L(D)}f(x)
\]
算子具有以下性质:
\(\displaystyle\frac{1}{L(D)}\mathrm{e}^{\lambda x}v(x)=\mathrm{e}^{\lambda x}\frac{1}{L(D+\lambda)}v(x)\) (其中 \(v(x)\) 是 \(\mathbb{R}\) 上至少 \(n\) 阶可微的函数)
\(\displaystyle L(\lambda)\ne 0,\frac{1}{L(D)}\mathrm{e}^{\lambda x}=\frac{1}{L(\lambda)}\mathrm{e}^{\lambda x}\)
\(L(\lambda)=0,\lambda\) 是 \(L(D)=0\) 的 \(m\) 次重根,则
\[\frac{1}{L(D)}\mathrm{e}^{\lambda x}=x^m\frac{1}{L^{(m)}(\lambda)}\mathrm{e}^{\lambda x}
\]
\(\displaystyle\frac{1}{L(D)}xv(x)=\left[x-\frac{1}{L(D)}L'(D)\right]\frac{1}{L(D)}v(x)\)
对微分算子感兴趣的读者, 可以去看看这篇论文
[Wenfeng Chen. “Differential Operator Method of Finding A Particular Solution to An Ordinary Nonhomogeneous Linear Differential Equation with Constant Coefficients”. In: (2018).]
里面对微分算子的性质进行了详细证明.
1.4.1 当 \(f ( x )\) 为多项式函数时
这种情况比较简单, 把 \(\frac { 1 } { L ( D ) }\) 展开为级数即可,展开的次数依多项式最高次数而定,具体的看几个例子就会了.
例 1.15 \(y ^ { \prime \prime \prime } - 5 y ^ { \prime \prime } + 3 y ^ { \prime } + 2 y = 2 x ^ { 3 } + 4 x ^ { 2 } - 6 x + 5\) , 求特解 \(y ^ { * }\) .
解
\[\begin{align*}
y^* &=\frac{1}{D^{3}-5 D^{2}+3 D+2}\left(2 x^{3}+4 x^{2}-6 x+5\right) \\
&=\frac{1}{2} \frac{1}{1+\left(D^{3}-5 D^{2}+3 D\right) / 2}\left(2 x^{3}+4 x^{2}-6 x+5\right) \\
&=\frac{1}{2}\left[1-\frac{1}{2}\left(D^{3}-5 D^{2}+3 D\right)+\frac{1}{4}\left(-5 D^{2}+3 D\right)^{2}-\frac{1}{8}(3 D)^{3}\right]\left(2 x^{3}+4 x^{2}-6 x+5\right) \\
&=\frac{1}{2}\left(1-\frac{3}{2} D+\frac{19}{4} D^{2}-\frac{91}{8} D^{3}\right)\left(2 x^{3}+4 x^{2}-6 x+5\right) \\
&=x^{3}-\frac{5}{2} x^{2}+\frac{39}{2} x-\frac{169}{4}
\end{align*}
\]
例 1.16 \(y ^ { \prime \prime \prime } - 3 y ^ { \prime \prime } + 2 y ^ { \prime } = x ^ { 3 } - 2 x ^ { 2 }\) , 求特解 \(y ^ { * }\) .
解
\[\begin{align*}
y^* &=\frac{1}{D^{3}-3 D^{2}+2 D}\left(x^{3}-2 x^{2}\right)=\frac{1}{D(1-D)(2-D)}\left(x^{3}-2 x^{2}\right) \\
&=\frac{1}{D(2-D)}\left(1+D+D^{2}+D^{3}\right)\left(x^{3}-2 x^{2}\right) \\
&=\frac{1}{D}\left[\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2} D+\frac{1}{4} D^{2}+\frac{1}{8} D^{3}\right)\right]\left(x^{3}+x^{2}+2 x+2\right) \\
&=\frac{1}{2} D^{-1}\left(x^{3}+\frac{5}{2} x^{2}+\frac{9}{2} x+\frac{17}{4}\right)=\frac{1}{8} x^{4}+\frac{5}{12} x^{3}+\frac{9}{8} x^{2}+\frac{17}{8} x
\end{align*}
\]
1.4.2 当 \(f ( x )\) 为指数函数时
例 1.17 \(y ^ { \prime \prime } + 3 y ^ { \prime } + 2 y = 5 e ^ { 3 x }\) , 求特解 \(y ^ { * }\) .
解
\[y ^ {*} = \frac {5 e ^ {3 x}}{D ^ {2} + 3 D + 2} = \frac {5 e ^ {3 x}}{3 ^ {2} + 3 \cdot 3 + 2} = \frac {e ^ {3 x}}{4}
\]
例 1.18 \(y ^ { \prime \prime } + 2 y ^ { \prime } + y = e ^ { - x }\) , 求特解 \(y ^ { * }\) .
解
\[y ^ {*} = \frac {e ^ {- x}}{D ^ {2} + 2 D + 1} = x ^ {2} \cdot \frac {e ^ {- x}}{2}
\]
1.4.3 当 \(f ( x )\) 为三角函数时
利用欧拉公式
\[\mathbf {e} ^ {i x} = \cos x + i \sin x
\]
化为指数形式并取相应的实 (虚) 部即可.
例 1.19 \(y ^ { \prime \prime } { + } 3 y = \sin ( 2 x )\) , 求特解 \(y ^ { * }\)
解
\[y ^ {*} = \operatorname {I m} \left(\frac {1}{D ^ {2} + 3} \mathrm {e} ^ {2 i x}\right) = \operatorname {I m} \left(\frac {1}{(2 i) ^ {2} + 3} \mathrm {e} ^ {2 i x}\right) = - \sin (2 x)
\]
例 1.20 \ \(y ^ { \prime \prime } + 4 y = \cos ( 2 x )\) , 求特解 \(y ^ { * }\)
解
\[y ^ {*} = \operatorname {R e} \left(\frac {1}{D ^ {2} + 4} \mathrm {e} ^ {2 i x}\right) = \operatorname {R e} \left(\frac {x}{2 D} \mathrm {e} ^ {2 i x}\right) = \frac {x \sin (2 x)}{4}
\]
例 1.21 \(y ^ { \prime \prime } + 3 y ^ { \prime } - 2 y = \sin ( 2 x ) .\) , 求特解 \(y ^ { * }\) .
解
\[\begin{align*}
y^*&=\operatorname{Im}\left(\frac{1}{D^2+3D-2}\mathrm{e}^{2ix}\right)\\
&=\operatorname{Im}\left(\frac{1}{6i-4}\mathrm{e}^{2ix}\right)
=-\frac{1}{12}(\sin (2x)+\cos (2x))
\end{align*}
\]
1.4.4 当 \(f ( x )\) 为 $ { \mathrm { e } } ^ { \lambda x } v ( x )$ 形式时 ( \(v ( x )\) 为多项式或三角函数)
例 1.22 \(y ^ { \prime \prime } - 2 y ^ { \prime } + y = x \mathbf { e } ^ { x }\) , 求特解 \(y ^ { * }\) .
解
\[\begin{align*}
y^*&=\frac{1}{D^2-2D+1}x\mathrm{e}^x=\mathrm{e}^x\frac{1}{(D+1)^2-2(D+1)+1}x\\
&=\mathrm{e}^x\frac{1}{D^2}x=\frac{x^3\mathrm{e}^x}{6}
\end{align*}
\]
例1.23 \(y ^ { \prime \prime } + 3 y ^ { \prime } - 2 y = \mathbf { e } ^ { x } \sin ( 2 x ) ,\) , 求特解 \(y ^ { * }\) .
解
\[\begin{align*}
y^*&=\frac{1}{D^2+3D-2}\mathrm{e}^x\sin (2x)=\mathrm{e}^x\frac{1}{(D+1)^2+3(D+1)-2}\sin (2x)\\
&=\mathrm{e}^x\frac{1}{D^2+5D+2}\sin (2x)=-\frac{1}{52}\mathrm{e}^x(5\cos (2x)+\sin (2x))
\end{align*}
\]
例1.24 $ y ^ { \prime \prime } + y = x \cos ( 2 x ) .$ , 求特解 \(y ^ { * }\)
解
\[\begin{align*}
y^*&=\frac{1}{D^2+1}x\mathrm{e}^{2ix}=\mathrm{e}^{2ix}\frac{1}{(D+2i)^2+1}x\\
&=\mathrm{e}^{2ix}\frac{1}{D^2+4iD-3}x=\mathrm{e}^{2ix}\left(-\frac{1}{3}-\frac{4i}{9}D\right)x\\
&=\mathrm{e}^{2ix}\left(-\frac{1}{3}x-\frac{4i}{9}x\right)=\frac{4}{9}\sin (2x)-\frac{1}{3}x\cos (2x)
\end{align*}
\]
例1.25 \(y ^ { \prime \prime } + y = x \sin { 2 x }\) , 求特解 \(y ^ { * }\) .
解
\[\begin{align*}
y^*&=\frac{1}{D^2+1}x\mathrm{e}^{ix}=\mathrm{e}^{ix}\frac{1}{(D+i)^2+1}x\\
&=\mathrm{e}^{ix}\frac{1}{D}\frac{1}{D+2i}x=\mathrm{e}^{ix}\frac{1}{D}\frac{1-2ix}{4}\\
&=(\cos x +i\sin x)\frac{x-ix^2}{4}=\frac{x\sin x}{4}-\frac{x^2\cos x}{4}
\end{align*}
\]
例 1.26 \(y ^ { \prime \prime } - 2 y ^ { \prime } + 5 y = x \mathbf { e } ^ { x } \sin 2 x\) , 求特解 \(y ^ { * }\)
解
\[\begin{align*}
y^*&=\frac{1}{D^2-2D+5}x\mathrm{e}^{(1+2i)x}\\
&=\mathrm{e}^{(1+2i)x}\frac{1}{(D+1+2i)^2-2(D+1+2i)+5}x\\
&=\mathrm{e}^{(1+2i)x}(-\frac{x^2}{8}i+\frac{x}{16})\\
&=\mathrm{e}^x\left[\left(\frac{x^2}{8}\sin 2x+\frac{x}{16}\cos 2x\right)+i\left(-\frac{x^2}{8}\cos 2x+\frac{x}{16}\sin 2x\right)\right]\\
&=\mathrm{e}^x\left(-\frac{x^2}{8}\cos 2x+\frac{x}{16}\sin 2x\right)\\
\end{align*}
\]
例1.27 \(y ^ { \prime \prime } - 3 y ^ { \prime } + 2 y = \sin \mathrm { e } ^ { - x }\) , 求特解 \(y ^ { * }\) .
解
\[\begin{align*}
y^*&=\frac{1}{D-2}\frac{1}{D-1}\sin \mathrm{e}^{-x}\\
&=\frac{1}{D-2}\left[\mathrm{e}^x\frac{1}{D}(\mathrm{e}^{-x}\sin \mathrm{e}^{-x})\right]\\
&=\frac{1}{D-2}\left(\mathrm{e}^x\int \mathrm{e}^{-x}\sin \mathrm{e}^{-x}{\rm d}x\right)\\
&=\frac{1}{D-2}(\mathrm{e}^x\cos \mathrm{e}^{-x})\\
&=\mathrm{e}^{2x}\frac{1}{D}(\mathrm{e}^{-x}\cos \mathrm{e}^{-x})\\
&=\mathrm{e}^{2x}\int \mathrm{e}^{-x}\cos \mathrm{e}^{-x}{\rm d}x\\
&=-\mathrm{e}^{2x}\sin \mathrm{e}^{-x}
\end{align*}
\]
例1.28 \(y ^ { \prime \prime } + y ^ { \prime } - 2 y = { \frac { 1 } { \mathrm { e } ^ { - x } + 1 } }\) , 求特解 \(y ^ { * }\)
解
\[\begin{align*}
y^*&=\frac{1}{(D+2)(D-1)}\cdot \left(\frac{1}{\mathrm{e}^{-x}+1}\right)\\
&=\frac{1}{D+2}\cdot \left(\frac{1}{D-1}\frac{1}{\mathrm{e}^{-x}+1}\right)\\
&=\frac{1}{D+2}\cdot \left[\mathrm{e}^x\frac{1}{D}\left(\mathrm{e}^{-x}\cdot \frac{1}{\mathrm{e}^{-x}+1}\right)\right]\\
&=\frac{1}{D+2}\cdot \left[-\mathrm{e}^x \int\frac{1}{\mathrm{e}^{-x}+1}{\rm d}(\mathrm{e}^{-x}+1)\right]\\
&=\frac{1}{D+2}\cdot \left[-\mathrm{e}^x \ln(\mathrm{e}^{-x}+1)\right]\\
&=\mathrm{e}^{-2x}\frac{1}{D}\left[\mathrm{e}^{2x}\cdot (-\mathrm{e}^x)\ln(\mathrm{e}^{-x}+1)\right]\\
&=-\mathrm{e}^{-2x}\frac{1}{D}[\mathrm{e}^{3x}\ln(\mathrm{e}^{-x}+1)]\\
&=-\mathrm{e}^{-2x}\int \mathrm{e}^{3x}\ln(\mathrm{e}^{-x}+1){\rm d}x\\
&=-\mathrm{e}^{-2x}\left[\frac{1}{3}\int \ln(\mathrm{e}^{-x}+1){\rm d}(\mathrm{e}^{3x})\right]\\
&=-\mathrm{e}^{-2x}\left[\frac{1}{3}\mathrm{e}^{3x}\ln(\mathrm{e}^{-x}+1)-\frac{1}{3}\int \mathrm{e}^{3x}\cdot \frac{-\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^{-x}+1}{\rm d}x\right]\\ &=-\mathrm{e}^{-2x}\left[\frac{1}{3}\mathrm{e}^{3x}[\ln(\mathrm{e}^{-x}+1)]+\frac{1}{3}\int \frac{\mathrm{e}^{2x}-1+1}{1+\mathrm{e}^x}{\rm d}(\mathrm{e}^x)\right]\\ &=-\frac{1}{3}\mathrm{e}^x\ln(\mathrm{e}^{-x}+1)-\frac{1}{6}+\frac{\mathrm{e}^{-x}}{3}-\frac{1}{3}\mathrm{e}^{-2x}\ln(\mathrm{e}^x+1)
\end{align*}
\]
从上面这些例题可以看出, 二阶常系数线性非齐次方程的算子解法确实要比以往的待定系数法求解特解更加快捷高效, 有计算量小且运用灵活的优点. 应当注意的是, 算子法只是为二阶常系数线性非齐次方程提供了又一种解法, 必然有其局限性, 并不适用于任意非齐次项的情况, 切忌生搬硬套.
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