分位数回归+共形预测：Conformalized Quantile Regression实现更可靠的预测区间

预测不确定性量化在数据驱动决策过程中具有关键作用。无论是评估医疗干预的风险概率还是预测金融市场的价格波动范围，我们常需要构建预测区间——即以特定置信度包含目标真值的概率区间。

**分位数回归(Quantile Regression, QR)**作为一种传统统计方法，长期以来被用于预测此类区间。与常规回归方法建模条件均值不同，QR直接对条件分位数进行建模，例如预测结果的第90百分位数。

然而单纯依赖QR在实践应用中存在显著局限性：其生成的区间在面对新数据时往往校准不足（区间过窄或过宽）。**Conformalized Quantile Regression (CQR)正是为解决这一问题而提出的创新方法，它将分位数回归与共形预测(Conformal Prediction)**技术相结合，生成既具有_自适应性_（区间宽度随输入特征动态变化，类似QR）又具有_严格统计保证_（能够达到预设的覆盖率目标）的预测区间。

本文将深入探讨CQR的理论基础、技术实现、与传统方法的比较，以及它在医疗、金融、能源和气候科学等多个领域的实际应用。

从分位数回归到共形预测

**分位数回归(QR)**是一种历史悠久的统计技术，可追溯至19世纪Galton的研究，并在1970年代得到形式化。QR方法直接估计目标变量的条件分位数，而非条件均值。例如在房地产市场分析中，QR不仅可预测给定特征下的平均房价，还能估计给定特征下房价的第90百分位值。

QR通过优化_尖点损失函数(pinball loss)_（亦称分位数损失）学习预测Y在X条件下的q分位数。QR的主要优势之一是能够自然处理**异方差性(heteroscedasticity)**问题——例如，第5百分位与第95百分位预测值之间的区间可根据数据局部噪声水平自动调整宽窄。

这种特性使QR能够生成局部自适应预测区间：在数据波动较大的区域产生更宽的区间，而在数据表现稳定的区域生成更窄的区间，从而更精确地反映预测的不确定性分布。

经典QR的关键限制在于校准问题。QR本身无法保证未来数据点有90%会落在所谓的"90%预测区间"内。理论上，QR区间的覆盖率仅在_渐近条件下_（样本趋于无穷且模型规范正确）才能达到预期水平。

在有限样本情况下，或当模型设定不完全正确时，实际覆盖率可能与名义覆盖率存在显著偏差。图1清晰地展示了这一问题：图中展示的分位数回归模型生成的90%预测区间（阴影区域）未能完全覆盖数据样本，部分观测点落在区间之外，表明该"90%"区间在实践中的覆盖率不足。

与此相对，归纳共形预测(Inductive Conformal Prediction, ICP)作为一种现代不确定性量化方法，将校准作为其核心目标。ICP构建的预测区间具有无分布假设的有限样本覆盖保证。本质上共形方法可以应用于_任意_点预测模型（通常是均值回归模型），然后利用单独的校准数据集调整预测结果，使预测区间_通过设计_达到目标覆盖率。

 

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