图卷积网络入门：数学基础与架构设计

数据是对现实世界的抽象表征。物理现象、人类行为模式以及自然规律都可以通过数据结构进行编码和表示。通过实现各类算法和模型，可以挖掘数据中的隐含模式，提取具有实际意义的非平凡信息。卷积神经网络（CNN）专门处理具有网格结构的数据（如图像），循环神经网络（RNN）则针对序列数据（如时间序列或文本）进行建模。这些模型的共同特点在于它们所处理的数据具有规则的结构特征。对于具有不规则结构的图数据而言，其模式识别和特征提取则是一个较为复杂的任务。本文将重点讨论图学习领域中的一个重要模型——图卷积网络（Graph Convolution Network，GCN）[1]。

图卷积网络由Thomas N. Kipf和Max Welling于2017年2月在其论文《Semi-Supervised Classification with Graph Convolutional Networks》中首次提出。对于希望深入研究图神经网络的研究者而言，理解这篇论文的核心内容至关重要。本文将在保持数学严谨性的同时，着重阐释其基本原理，便于读者把握要点。

图的基本概念与表示

上图展示了一个无向图数据结构，其中每个节点都包含特定的特征向量。在此需要明确以下关键概念：

• 无向图：一种边具有双向性质的图结构，其中顶点间通过无方向性的边进行连接。
• 邻接矩阵：一个方阵，用于表示图中顶点之间的连接关系，矩阵元素表示对应顶点间是否存在边的连接。
• 度矩阵：一个对角矩阵，其对角元素表示无向图中各节点所连接的边的数量。

在邻接矩阵和度矩阵中，以橙色标注的数字表示存在自环（self-loop）的情况，即节点与自身之间存在连接。

 

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