【数据结构入门】1.4.2算法与算法分析（持续更新ing）

算法与算法分析2

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一、算法的效率

• 时间效率：指算法所耗费的时间。
• 空间效率：指算法执行过程中耗费的存储空间。
• 时间与空间效率有时存在矛盾。

二、算法的时间效率度量

依据是算法编程的程序在计算机上执行所消耗的时间

• 事后统计：基于程序在计算机上的执行时间。
• （缺点：编写程序实现算法将花费较多的时间和精力；所得实验结果依赖计算机的软硬件等环境因素，掩盖算法本身的优劣）
• 事前分析：使用标号、项目符号等工具，无需实际运行。

三、事前分析方法

（一）基本假设

假设每条语句执行时间为单位时间，算法运行时间转化为语句频度之和（执行次数总和）。
算法运行时间 = 一个简单操作所需的时间 × 简单操作次数也即算法中每条语句的执行时间之和
算法运行时间 =(sum)每条语句的执行次数 × 该语句执行一次所需的时间

（二）时间消耗计算

• 矩阵相乘示例（代码及频度）：

  1 for(i=1;i<=n;i++)          // n+1 次  
  2     for(j=1;j<=n;j++){      // n(n+1) 次  
  3         c[i][j]=0;          // n² 次  
  4         for(k=0;k<n;k++)    // n²(n+1) 次  
  5             c[i][j] += a[i][k]*b[k][j];  // n³ 次  
  6     }  
  

  时间消耗：T (n)=2n³ + 3n² + 2n + 1

（三）渐进时间复杂度（大“O”记号）

为了便于比较不同算法的时间效率，我们仅比较它们的数量级

若有某个辅助函数 f (n)，使得当 n 趋近于无穷大时，T (n)/f (n) 的极限值为不等于零的常数，则称 f (n) 是 T (n) 的同数量级函数。
记作 T (n)=O (f (n))，
称 O (f (n)) 为算法的渐进时间复杂度（O 是数量级的符号），
简称时间复杂度。

对于求解矩阵相乘问题，算法耗费时间：
T (n)=2n³ + 3n² + 2n + 1
n → ∞时，T (n)/n³ → 2，这表示 n 充分大时，
T (n) 与 n³ 是同阶或同数量级，
引入大 “O” 记号，
则 T (n) 可记作：T (n)=O (n³)

算法中基本语句重复执行的次数是问题规模 n 的某个函数 f (n)，
算法的时间量度记作：
T (n)=O (f (n))
算法中重复执行次数和算法的执行时间成正比的语句
对算法运行时间的贡献最大
执行次数最多
称作为基本语句

（四）基本语句特征

• 与执行时间成正比，对运行时间贡献最大，执行次数最多。

（五）问题规模与执行时间

• n增大，执行时间延长，具体场景：
  • 排序：(n)为记录数。
  • 矩阵：(n)为阶数。
  • 多项式：(n)为项数。
  • 集合：(n)为元素个数。
  • 树：(n)为结点数。
  • 图：(n)为顶点/边数。

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