[bzoj2159] Crash的文明世界 [斯特林数+树形dp]

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思路

首先，有一个自然数幂的拆分公式：$x^n=\sum_{i=1}n \begin{Bmatrix} n&n \\ i&i \end{Bmatrix}=\frac{x!}{(x-i)!}$

其中$\begin{Bmatrix} n \\ i \end{Bmatrix}$是第二类斯特林数

那么本题中我们显然也可以利用这个公式，把原式变成如下的形式：

$S(i)=\sum_{j=1}^ndis(i,j)m=\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}m \begin{Bmatrix} m \\ k \end{Bmatrix} \binom{dis(i,j)}{k}k!$

更换一下枚举方式

$S(i)=\sum_{k=1}^m \begin{Bmatrix} m \\ k \end{Bmatrix} k! \sum_{j=1}^n\binom{dis(i,j)}{k}$

然后由于每条边的长度都是1，所以就可以用组合数的递推公式$\binom{n}{m}=\binom{n-1}{m-1}+\binom{n-1}{m}$来树形$DP$算后面那个$\sum$了~

具体而言，我们定义两个状态$down[u][k]$和$up[u][k]$，分别表示$u$的子树中的点和除了$u$子树之外的所有点，在枚举到$k$时，对$u$的答案的贡献

那么显然可以先一遍$dfs$算出$down$，方程为$down[u][k]=\sum_{v=son(u)}down[v][k]+down[v][k-1]$，原理就是上面那个公式

然后第二遍$dfs$算$up$，这个东西要复杂一些

首先由公式显然可得$up[u][k]=up[fa][k]+up[fa][k-1]$，但是这还没有算$fa$这个点，和$fa$的其它子树的贡献

我们可以用$down[fa][k]-down[x][k]-down[x][k-1]$和$down[fa][k-1]-down[x][k-1]-down[x][k-2]$来表示这个贡献，也就是把$fa$的$down$里面减掉$x$做出的贡献

所以综合来说，$up[u][k]=up[fa][k]+up[fa][k-1]+down[fa][k]-down[x][k]-down[x][k-1]+down[fa][k-1]-down[x][k-1]-down[x][k-2]$

那么最后只要对于每个点$u$枚举$k$，把所有的$up[u][k]+down[u][k]$同前面的东西乘起来累加，就得到了点$u$的答案

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cassert>
#include<cmath>
#define ll long long
#define MOD 10007
using namespace std;
inline int read(){
	int re=0,flag=1;char ch=getchar();
	while(ch>'9'||ch<'0'){
		if(ch=='-') flag=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9') re=(re<<1)+(re<<3)+ch-'0',ch=getchar();
	return re*flag;
}
int n,m,first[50010],cnte,s[200][200],fac[200];
struct edge{
	int to,next;
}a[100010];
inline void add(int u,int v){
	a[++cnte]=(edge){v,first[u]};first[u]=cnte;
	a[++cnte]=(edge){u,first[v]};first[v]=cnte;
}
void init(){//预处理阶乘和斯特林数
	int i,j;fac[0]=fac[1]=1;
	for(i=2;i<=m;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%MOD;
	s[0][0]=1;
	for(i=1;i<=m;i++){
		for(j=0;j<=i;j++){
			s[i][j]=s[i-1][j-1]+s[i-1][j]*j;s[i][j]%=MOD;
		}
	}
}
int down[50010][210],up[50010][210],ans[50010];
void dfs1(int u,int f){
	int i,v,k;
	down[u][0]=1;
	for(i=first[u];~i;i=a[i].next){
		v=a[i].to;if(v==f) continue;
		dfs1(v,u);
		down[u][0]+=down[v][0];//down[u][0]相当于siz[u]，可以自己证证
		for(k=1;k<=m;k++) down[u][k]+=down[v][k]+down[v][k-1],down[u][k]%=MOD;
	}
}
void dfs2(int u,int f){
	int i,v,k;
	if(!f) goto skip;//没有fa，哪来的up?
	up[u][0]=n-down[u][0];
	for(k=1;k<=m;k++){
		up[u][k]=up[f][k]+up[f][k-1]+down[f][k]+down[f][k-1]-down[u][k]-down[u][k-1]-down[u][k-1];
		if(k>1) up[u][k]-=down[u][k-2];
		up[u][k]=(up[u][k]%MOD+MOD)%MOD;
	}
	skip:
	for(i=first[u];~i;i=a[i].next){
		v=a[i].to;if(v==f) continue;
		dfs2(v,u);
	}
}
int main(){
	memset(first,-1,sizeof(first));
	n=read();m=read();int i,A,B,Q,lim,now,tmp,k;
	lim=read();now=read();A=read();B=read();Q=read();
	for(i=1;i<n;i++){
		now=(now*A+B)%Q;
		tmp=(i<lim)?i:lim;
		add(i-now%tmp,i+1);
	}
	init();dfs1(1,0);dfs2(1,0);
	for(i=1;i<=n;i++){
		for(k=1;k<=m;k++) ans[i]+=s[m][k]*fac[k]%MOD*(up[i][k]+down[i][k])%MOD;
		printf("%d\n",ans[i]%MOD);
	}
}