省选算法学习-数据结构-虚树

这次要学的是一个听起来很虚的东西

没错写起来更虚

毕竟都是在虚的东西上面操作……

 

虚树，顾名思义，就是一棵不真实的树【大雾】

它可以对于一部分点保存整棵树的所有信息，而对一部分点选择忽略，这样可以增加dp/点分治的效率

 

为了给大家一个更好的例子（免得看不懂虚树到底能干嘛），我们先来看一个题目：消耗战

容易看出，这道题需要对每个询问做树形dp，然后每次在原树上dp都有$O\left(n\right)$的时间开销，m次询问做完肯定TLE

 

那么怎么解决呢？可能有些人会说离线瞎搞，但是万一这道题强制在线呢？？？

这时候就要用到虚树这个数据结构了

 

 

考虑一组询问，我们在树上有一些点是”询问点“，剩下的点不是

也就是说，其实我们只是需要对这些”询问点“处理信息，然后再把询问点的信息合并就好了

诶，等等，万一询问点之间不全都是父子关系怎么办？

那看来我们还要加上询问点们的LCA，也一起放到这课树里面

这样，我们的新树中就有这组询问的所有询问点，以及它们互相之间的LCA了，然后这个点的数量级是$O\left(询问中的点数\right)$级别的

我们看到，题目数据范围里说，所有的询问点数总和不超过300000

OK！这样dp就不会超时了！！

 

所以上面这一步中，我们找到了做题的思路：把虚树建出来，在虚树上dp

那么，怎么实现构建虚树的过程呢？

这个好像有点麻烦，因为我们并没有什么方法能对于一个点集合求出它们的附加LCA，所以我们得换个角度下手

这里的思路比较复杂，说出来也价值不大，所以就直接提供方法了

 

我们维护一个单调的栈，这个栈里的元素关于深度单调，也就是说我们栈里面保存一条从当前根开始的树链。

先把所有的”询问点“按照dfs序排个序，然后依次把它们加入栈中

每一次，我们设grand为当前待入栈节点和当前栈顶节点的lca

然后做这样一个循环：

如果当前的栈顶深度大于grand，我们就在栈顶和栈的第二个元素中间连一条虚树边，并把栈顶弹掉，直到栈顶的深度小于等于grand

此时让grand和上一个被弹出的元素连边

这时再把grand加入栈顶，然后再把待入栈节点加进来

所有的”询问点“都入栈了以后，再把栈里的元素一个一个弹掉并连边就好了

注意这个过程中，所有的加边只在弹栈过程中进行，注意不要写错

 

这样建出来的虚树就是比较点数少的了，而且在求dfs序的同时我们还可以维护深度和子树大小之类的信息，后面在虚树上依旧可以使用

不过，有的时候（例如上面的例题），某个节点一定不会作为询问点，此时可以先把这个节点（比如例题中的一号）加入栈，作为虚树的根

否则就需要在每一次新加入询问点的时候判断栈是否为空，如果是空的就要直接把这个节点入栈

这样的方法，最后栈里剩下的那个元素，就是虚树的根了

当然，有的题目因为需要一些和dfs时确定的根节点（比如1号）有关的信息，所以必须以一号作为根，这种时候就要在dp里面判断一下了

 

说了这么多，其实虚树的建法也大都和题目有关，因此还是要多看题

这里放三道虚树例题，分别对应上面那段讲的三种情况

SDOI2011消耗战

HEOI2014大工程

HNOI2014世界树

可以看到虚树一般作为优化dp时间复杂度的一种手段，题目真正的精髓还在dp上

 像世界树这道题就dp非常恶心，写起来贼难受......

 

总结一下，虚树就是一个优化树的结构的数据结构【好绕啊】，一般结合dp或者点分治使用（好像比较少见点分治的）

当然可能有什么结合树上莫队啊启发式算法啊之类的恶心题，但是见得不多就是了

实际上，虚树这个算法源于去除冗余信息的思维，它把多的、不需要的信息集成在了虚树边上

这一点在世界树那题里面特别体现了出来